L'équation considérée par Monge est
Rr -hSs-hTt = V, (23)
où R, S, T, V, désignent des fonctions de x, y, z, p, q. En substituant dans cette équation les valeurs
^ dp — sdy f ^dq — sdx-
dx ' dy '
tirées des relations ,
djo = rdx H- sdy, dq = sdx -h tdy, (23')
on obtient
Rdpdy H- Idqdx — \dxdy = s [Rdy^ — Sdxdy -h Tdx^]. (24) Posons séparément, avec Monge,
Rdy^ — Sdxdy -}- Tdx'- = 0 (25)
Rdpdy + Tdqdx -+- Ydxdy = 0. (26)-
11 est clair que si ces deux équations sont satisfaites identiquement, l'équation (23) sera aussi satisfaite.
En résolvant l'équation (25) par rapport à dy, on en déduira deux autres
dy = m'dx, dy = 7n"dx,
m' et m" étant les racines de l'équation
Rm^ — Sw + T = 0 ; (2S')
et, si l'on porte successivement chacune des valeurs de dy dans l'équation (26), on aura les deux systèmes
dy = 77i'dx )
Rm'dp -h Tdq — \77i'dx == 0 )
dy = m"dx )
Rm"dp ^ Tdq — Y?7i"dx = 0 )' ^^^^
à chacun desquels on doit joindre la relation
dz = pdx -h qdy. (29)
730 CHAriTRE XVI
586. Cela posé, nous allons démontrer le théorème suivant : Si
A (^' 2/> -sr, 23, q) = a, f^ {x, y, Z, p, q) = b (30)
so)ît deux mtègrales satisfaisant au système (27), l'équation
où tp désigne une fonction arbitraire, est une intégrale ijitermédiaire de V équation proposée (23).
La différentiation des équations (30) donne
^A dx 4- ^^ di, + '-^^ dz + '^i rf]3 + ^^ rfg = 0 ôa; &î/ •'' ^z (>p ^ i^q ^
^^^-dx-h ^^J^dq = 0.
En y remplaçant dy, dq et dz par leurs valeurs tirées des relations (27) et (29), on obtient deux équations qui, devant être vérifiées quels que soient dx et dp, fourniront les relations
J± ] yj^' y 4 ^3 | (7JJ2,' -Ll -^ JJ: := (
et les deux analogues en f^.
Mais la différentiation de l'équation (31) donne
^II dx + -^2 c^v + ^^ dz 4- ^ dp 4- ^-^^ c^^
= c' if) [^ da> + '-^- ^v + P- d- + 'r^ ^P -^ ^- ^^1- ' ^'^^ \j\x ^y ^ ^z èp ^ ^q ^J
En y remplaçant
" ' fia? ' L>^ ' rip ' ;>/? '
par leurs valeurs tirées des relations (29), (32) et des deux analogues de (32), on est conduit à l'équation
Rm'dp 4- Tdq — Vm'dx = M (dy — 77i'dx)(33),
dans laquelle on désigne par M l'expression
M = - ^y y ,A.^V. '^^jr-^'l . (34)
Si l'on remplace dans l'équation (33) les quantités dp et dq par leurs valeurs tirées des relations (23') ; et, si l'on égale à zéro les coefficients de dx et de dy, on obtient le système
Rm'r -H Ts — Vm' -4- Mm' = 0 Rm's -h Ti — M = 0 ;
l'élimination de r et / entre ces deux équations et la proposée (23) fait disparaître M, et il reste
s (Rm'2 — Sm' -h T) = 0
qui est une identité, puisque m' est une racine de l'équation (25').
On verrait, par le même raisonnement, que si
sont deux intégrales satisfaisant au système (28), V équation
ou ^ désigne une fonction arbitraire, est une intégrale inter-> médiaire de V équation proposée (23).
587. La méthode de Monge ne réussit que rarement, puisqu'elle est subordonnée à la possibilité d'intégrer les systèmes (27) et (28) ou au moins l'un d'eux.
Supposons qu'on ait déterminé deux intégrales intermédiaires (31) et (35). Pour obtenir l'intégrale générale, on résoudra ces deux équations par rapport k p et à ç', et après avoir porté ces valeurs dans (29) on intégrera cette dernière qui sera une différentielle exacte.
Voici des exemples :
1° Soit l'équation
Kr + B5 -F C^ = 0 (36)
où A, B, C sont des constantes; c'est une généralisation de l'équation des cordes vibrantes.
Les racines de l'équation (25') sont ici des nombres mj et m^.
La première m^ donne les intégrales
y — miX = «1, kmiP H- Cg' = a^, et, par suite, l'intégrale intermédiaire
km^p -h Cg' = <fi (î/ — m^x). (37)
On obtient pareillement, au moyen de la seconde racine ma, une autre intégrale intermédiaire
km^p -i- Cq =: tf^ [y — m^x). (38)
Des intégrales intermédiaires (37) et (38) on déduit
p tr= w^2 -l^ (î/ — m^x) — '\i{y — Wj x) q = (D (y — m^x) — ^1^ (y — *^2 ^)j
en posant
-jii-M 1 . = œ (y — m, X)
km^ [m^ — mj ^ ^^ ^ ^
km.2 (Wg — mj ^"^ "■ '
La substitution de ces valeurs de p et de ^ dans l'équation (29) donne
dz = {dy — nii dx) ^{y — m^x) — {dy — m^ dx) f [y — m^ x).
Dès lors, en intégrant et représentant par *^ et <i>2 les fonctions qui ont respectivement pour dérivées les fonctions arbitraires (f et — '^, on aura, pour l'intégrale générale de la proposée (3fi)
2° Soit Féquation
pqr — 5 (1 + p^) = 0 (40)
qui est relative aux surfaces qui ont les lignes de l'une des courbures situées dans des plans parallèles à zQx. On a ici les deux systèmes
dy = 0, pqdp — {l -i- p^) dy = 0 (41)
dy == — L±^ dx, dp = 0. (42)^
Le premier système donne une première intégrale intermédiaire
q = [/l-^p^^^'(tj). (43)
Le second système (42) en donnerait une autre, mais la précédente suffira, si on applique la méthode de Jacobi pour l'intégration des équations différentielles aux dérivées partielles du premier membre. Dans cette méthode, on est conduit à considérer le système d'équations aux différentielles ordinaires
dy doo dp .
On en déduit successivement
p = a, q = \/l + a2 <];' {y), dz = adx + V 1 4- a^ <]^' (y) dy,
et enfin
cf, (a) = ax -\- \/\. -+- a^ ^ [y). (44)
L'intégrale générale résultera de l'élimination de a entre la relation (44) et la suivante
^ 4- :p' (a) + -gtM- = 0. (44')
Vl -4- «2
3° Soit encore l'équation
x^-r -^ 2œys -+- y-t = 0 (45)
qui est relative aux surfaces réglées dont les directrices sont rectilignes.
Les équations (25) et (26) sont ici
œdy — ydx = 0, xdp + îjdy = 0 ;
elles ont pour intégrales
ij = ax, ^3 H- a^ = p,
d'où l'on déduit l'intégrale intermédiaire
poo -^qy = X'f (1^
C'est une équation linéaire et du premier ordre qui s'intègre sans difficulté. On considère, à cet effet, les équations simultanées
dos dy ds
co y (y
^ xm [-
ou
xdy — ydx = 0, dz ^= dœo (•-
On en déduit
et, il suffit alors de remplacer p' par '\ («') et a' par '-^ pour obtenir l'intégrale générale de l'équation proposée (45) ; «? et t|- sont deux fonctions arbitraires.
4° Soit l'équation
Rr -h S5 -H Tf = 0 R, S, T étant des fonctions de p et (7 seulement.
La transformation de Legendre (tome 1, n° 115) donne pour r, s, i des valeurs qui, substituées dans l'équation précédente lui font prendre la forme
dq^ hp dq dq^
Cette équation est plus simple que la proposée ; on lui appliquera aisément la méthode de Monge.
Equation d'Ampère
588. L'illustre Ampère a consacré deux beaux Mémoires {Journal de l'Ecole Polytechnique, 11^ et 18^ cahiers) à l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre. Il a considéré en particulier l'équation
Hr2 H- 2 K^ 4- L^ -+- M -f- N [rt — s^) = 0 (46)
dans laquelle les coeflîcients H, K, L, M, N sont des fonctions connues de x, y, z, p, q et qui, pour N = 0, se réduit à l'équation de Monge (23).
Le travail d'Ampère est difficile à lire à cause de la complication des notations employées. Nous suivrons ici une marche plus simple, indiquée par Boole et qui conduit aux mômes résultats concernant l'équation (46). Cette méthode n'est d'ailleurs qu'une généralisation de celle qui a été exposée (n° 585) pour l'équation de Monge.
Mais, avant d'entrer véritablement en matière^ il est intéressant d'indiquer l'origine de l'équation (46).
Soient ii et v deux fonctions données de x, ?/, z, p, q. Considérons l'équation du premier ordre
cp (^u, v) = 0 où © désigne une fonction arbitraire. En différenliant succès-
sivement par rapport è. œ ei h y, on obtient les deux relations
i>tp I ÔM
entre lesquelles il suffit d'éliminer le rapport des dérivées -^ , — pour tomber sur une équation de la forme (46).
589. Cela posé, considérons l'équation (46) et opérons d'abord comme au n" 1585, c'est-à-dire substituons dans (46) les valeurs de r et de if déduites des relations (23'). Nous obtiendrons ainsi une équation de la forme X — ^is = 0 que nous remplacerons, comme au n° 583, par le système
Hdy^- — 2 Kdx dy -+- hdx- + N {dq dy -+- dp dx) = 0 (47) Edp dij H- hdq dy 4- Mdr dy -\- Ndp dq = 0. (48)
Actuellement, cherchons à décomposer ce système en d'autres qui soient linéaires. A cet effet, ajoutons à l'équation (48) multipliée par N l'équation (47) multipliée par un facteur indéterminé m. On aura
Hw dy^ -h (MN — 2 Km) dx dy ■+■ Lm dx^ H- Nm [dx dp -+- dy dq) -)- LN dx dq -+- NH dp dy -\- N^dp dq = 0,
qui, si l'on détermine m par l'équation
m^ + 2 Km + HL — MN, (49)
devient
(Rdy -h mdx -h Ndq) (pidy h- L:r H- ^dp) = 0, (50)
L'équation (49) a deux racines, qu'on peut écrire
m = — Ki/G, (51)
si l'on pose
