Exemple
Soit l'équation
rt — s2 + «2 ^ 0
que l'on rencontre dans la théorie mécanique de là chaleur. On a ici
et l'équation (51) donne m = ±a; donc les deux systèmes (56 et 57) deviennent
dp -1- ady = 0 ^ dp — ady = 0 \ dq — adûc = 0 ^ dq -^ adx = 0 y
On déduit de là les deux intégrales intermédiaires
q — ax =r. 'j^ {p -^ ay), q -^ ax i= ^ {p — ay)
qui renferment chacune une fonction arbitraire.
On passera ensuite comme il suit à l'intégrale générale. Des relations
^j + ay = a p — ay = ^
q — aa? =: ç) (a) q -\- ax = <|^ (|3)
on tire
grâce à ces valeurs l'équation
dz = pdx -\- qdy
devient,
dz = ? (^) + '^ (P) - (^ + P) ?^ (^) a^
(g -H P) .y (P) - cp (g) - ^ (P) ^
et l'on aura, en intégrant,
On fait disparaître les signes de quadrature en remplaçant ©(g) et 4/(|3) par des dérivées, en sorte que l'intégrale générale sera exprimée par le S3"stème
lia
(a + p) [,y (P) ,y (a)] -^ 2o (-) - 2HP)
L'équalîoii des télégraphistes
591. On rencontre dans la Théorie de la Télégraphie sans fil l'équation
où A, B, G désignent des constantes et qui a été intégrée par M. Poincaré. On peut l'écrire^ en choisissant les unités.
et, si l'on pose
elle devient
v = ue-^
Les conditions initiales sont les suivantes : pour ^ = 0, U et —
sont des fonctions données de x ; nous les écrirons, en les mettant immédiatement sous la forme d'intégrales,
Uo =
6 [q] e^'i' dq
ôj (q) e'v'- dq.
L'intégrale de l'équation proposée est alors, comme on le vérifie aisément,
Qiqx
0 {q) cos t \^q' - 1 + G, (g) !HL1L^1ziJ
dq
00 ^ — ûO ,
« et [J ayant pour valeurs
Nous n'étudierons pas plus à fond cette intégrale ; les ingénieurs que le problème intéresse trouveront cette étude complète dans le Traité des Oscillations électriques de M. Poincaré.
Les équations aux dérivées partielles et les apïïroxiiiiatioiis successives
593. Ce sujet fort intéressant a été l'objet des belles recherches de M. Emile Picard, qui a bien voulu rédiger pour notre livre la fin de ce chapitre dont nos lecteurs sauront certainement apprécier toute l'importance.
Dans un grand nombre d'applications, tant en géométrie qu'en physique mathématique^ il importe d'obtenir les intégrales d'une équation aux dérivées partielles satisfaisant à certaines conditions aux limites. Ces conditions peuvent être de nature très variée, et on ne peut à cet égard donner d'indications entièrement générales. Dans des cas assez étendus toutefois, l'emploi d'une méthode très usitée en mathématiques, celle des approximations successives, est susceptible de conduire heureusement à l'intégration de l'équation^ en permettant d'établir l'existence de l'intégrale et de la calculer avec telle approximation que l'on voudra. Nous nous proposons d'en donner ici quelques exemples simples, en énonçant seulement les résultats dont la démonstration nous entraînerait trop loin.
593. Considérons une équation aux dérivées partielles du second ordre de la forme
A, B, C dépendent seulement des deux variables indépendantes X et y. On peut, pour intégrer cette équation avec des conditions aux limites déterminées, procéder de la manière suivante par approximations successives. Nous mettons dans le second membre une fonction quelconque u^ de x et y, et nous formons l'équation
(en posant, pour abréger, Ai« = A '-^ H- 2 B h G — ^-Con-
cevons qu'on intègre cette équation en u^^ en se donnant certaines conditions aux limites qui, nous le supposons, déterminent complètement une intégrale que nous désignerons par U2. On formera ensuite l'équation
àu = M,, — i — ï ce, y]
et l'on intégrera cette équation en u^, en satisfaisant aux mêmes conditions aux limites que plus haut, et nous continuons ainsi indéfiniment. Si V intégrale iin tend vers une limite déterminée ii, quand n grandit indéfiniment, on obtiendra ainsi Finte'grale it de l'équation (1) satisfaisant aux co-nditionsdonnées.
Ces généralités n'ont d'intérêt qu'autant qu'on précise les conditions aux limites, et qu'on se place dans des conditions où l'on puisse établir rigoureusement la convergence de iin vers une limite u. Nous allons essentiellement supposer que, dans la région du plan où reste le point {x, y), le déterminant B- — AC garde un signe invariable. 11 est alors aisé de voir que notre équation (1) peut alors être réduite aux deux types suivants
hoc^y \ ' X)x' ^y ^ ) ^ ^
^x^ hy^ \ i>x i)y •^/ ^ -^
pour lesquels les problèmes à poser sont entièrement différents.
594. Arrêtons nous d'abord sur les équations du type (A) et envisageons d'abord le cas le plus simple de l'équation linéaire
= a {- h \- cz (59)
bxi^y 'b.x by ^ '
où a, b, c sont dans une certaine région du plan des fonctions
continues de x et y. La méthode des approximations successives donne, au point de vue de l'existence et du calcul des intégrales, la réponse aux principales questions qu'on peut se poser sur cette équation. Ainsi, si on se donne sur un segment OA de l'axe des x et sur un segment OB de l'axe des y, les valeurs d'une intégrale 5, celle-ci est complètement définie dans le rectangle construit sur OA et OB. Un second problème consiste à prendre un arc de courbe MP rencontré au plus une fois par toute parallèle à l'axe des ^ ou à l'axe des y ^ et à se donner les
valeurs de 2 et — sur cet arc de courbe ; une intégrale de
l'équation aux dérivées partielles sera complètement définie par ces données dans le rectangle MM'PP', elle y sera continue ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre.
Il est facile de voir que dans les deux problèmes précédents on pourra utiliser les indications générales données au n° 593 On aura ici à former l'intégrale z d'une équation de la forme
où /est une fonction donnée de x et ?/, satisfaisant aux conditions de l'un ou l'autre des deux problèmes proposés.
Pour le premier problème les choses seront particulièrement simples. Supposons que pour sy = 0, on ait z = §(a?), et que pour œ ^=iO, s ='^{y) ', on a, bien entendu, (f(0) = 4'(0)- L'intégrale cherchée de l'équation (60) sera
fiv, tj)dxdy H- ^{x) -h <]>(?/) — cp(0).
Pour le second problème, supposons, ce qui, au fond, ne
et
diminue pas la généralité, que les valeurs données de
sur l'arc MP soient nulles; l'intégrale cherchée de l'équation (60) peut se représenter de la manière suivante. Soit A un point de coordonnées x et y. Menons par ce point des parallèles aux axes rencontrant la courbe en C et B ; l'intégrale sera représentée par l'intégrale double
'\)d\dt
étendue au triangle curviligne ABC.
On pourra donc procéder^ dans les deux problèmes indiqués, par approximations successives, et il ne reste plus qu'à démontrer que ces approximations convergent vers la solution cherchée, ce qui demande une analyse assez longue mais ne présentant pas de réelles difficultés.
595. Les problèmes précédents, notamment le second, appellent quelques remarques qui ne sont pas sans intérêt. Il n'est pas inutile d'insister sur la nécessité de Thypothèse faite que l'arc MP n'est rencontré qu'en un seul point par une parallèle aux axes de coordonnées. Considérons, en effet, pour prendre un exemple très simple,, un arc MP dont les extrémités soient sur 0^ de part et d'autre de l'origine, et supposons que le point S de cet arc où la tangente est parallèle à Ox soit sur l'axe des y.
Jf 0 p X
Si l'on se donne sur l'arc MSP une succession continue de
valeurs pour z et:;£, ou encore, ce qui revient au même,
pour -- et — en se donnant en plus la valeur de z en S, il
nexiste?'apas en général d'intégrale de V équation (o^j , continue ainsi que ses dérivées partielles de premier ordre dans le segment MOPS, et répondant à ces données. On aura, en efîet, une intégrale déterminée dans la partie OSP, une autre intégrale déterminée dans la partie OSM ; ces deux intégrales ne se raccordent pas en général le long de OS.
