Considérons un segment AB de droite parallèle à

On ne peut pas, sur ce segment se donner, pour une intégrale

z, la valeur de z et celle de — . car les valeurs de - sur AB

sont déterminées, à une constante près, en fonction des valeurs de z ; c'est ce qui résulte de l'équation

qui montre que sur AB les valeurs de — sont déterminées par une équation linéaire du premier ordre. Si donc, pour une intégrale, z est donnée le long de AB, et si -;- est donnée au

point A, les valeurs de ^ seront connues tout le long de AB.

Cette remarque peut être utile pour décider dans certains cas du raccordement de deux intégrales. Ainsi, soient un segment BB' de l'axe des y comprenant l'origine 0^ et le segment OA de l'axe des x ; si l'on se donne une intégrale par ses valeurs le long de BB' et de OA, elle sera déterminée dans le rectangle de base BB' et de hauteur Ox\. On a, en effet, deux intégrales définies, l'une dans le rectangle construit sur OA et OB, l'autre dans le rectangle construit sur OA et OB' ; la remarque précédente montre que ces deux intégrales se raccordent (c'està-dire ont mêmes dérivées premières) le long de OA et par suite n'en font qu'une.

59^. Les résultats précédents s'étendent, avec quelques modifications seulement, aux équations linéaires

Jf ( 0 — , — ce

Un cas particulièrement simple est celui où F {z, w, v, x, y) serait déterminée et continue pour toute valeur réelle àe z, u et V [le point {x, y) étant dans une certaine région du plan], et où cette fonction aurait des dérivées premières

è^F ôF ôF

restant, en valeur absolue, moindres qu'un nombre fixe ; dans €e cas, la convergence des approximations successives a lieu dans les mêmes conditions que pour les équations linéaires. Soit, par exemple, l'équation

— — = sm z i)Xi>y

intéressante dans la théorie des surfaces à courbure constante. Il existe une intégrale de cette équation prenant des valeurs données sur un segment OA de l'axe des x, et sur un segment OB de l'axe des ij ; elle est complètement déterminée dans le rectangle construit sur OA et OB.

598. Occupons nous maintenant des équations du type (B). Les problèmes principaux qui se présentent alors, au point de vue de la détermination des intégrales par des conditions aux limites, sont d'une toute autre nature. Le cas de l'équation

a fait l'objet d'un très grand nombre de travaux, et un problème célèbre consiste dans la détermination de l'intégrale de cette équation, continue à Vintérieur d'une aù'e et 'prenant

sur le périmètre de cette aire une succession de valeurs données. Une question analogue peut dans beaucoup de cas se poser pour l'équation (B).

Considérons d'abord le cas de l'équation linéaire :

-^ -t~ r— , = « , H & h eu (62)

où a, b, c sont des fonctions continues de x et y. On établit d'abord que, si l'on prend un contour fermé C enveloppant une aire suffisamment petite, il ne peut exister qu'une seule intégrale de l'équation, continue à l'intérieur de l'aire limitée par C, et prenant des valeurs données sur le contour.

599. Si maintenant, on veut établir l'existence de cette solution, on pourra recourir à l'emploi des approximations successives. D'après les indications que nous avons données au début, on pourra le faire si on sait résoudre le problème suivant. Soient l'équation

où f {x, y) est une fonction donnée de x et ?/, et un contour fermé C : trouver l'intégrale u de cette équation, continue dans l'aire A limitée par G, et s'annulant sur ce contour. Or, la solution de ce problème est donnée par la formule

u{x, y)=— ^ j j G(ç, 7) ; œ, y) f{^,r) d^ dri,

l'intégrale précédente étant étendue à Taire A. Dans cette formule G (^, ^ ; X, y) désigne une fonction classique dans l'étude de l'équation (61), connue sous le nom de fonction de Green. Regardée comme fonction de i et o, elle satisfait à l'équation

elle s'annule sur le contour C, est continue à l'intérieur de l'aire A sauf au point {x, y) où elle devient infinie comme

log -, en désignant par r la distance du point variable (ç, tj)

au point {x, y).

Ce résultat étant connu, on peut appliquer à l'équation (62) la méthode des approximations successives, et établir que les approximations convergeront vers l'intégrale cherchée (dont l'existence se trouve en même temps établie), si Vaire A est suffisamment petite.

600. Quelques-uns des résultats précédents peuvent être étendus aux équations non linéaires, quoique on ne puisse le plus souvent être assuré que l'intégrale soit unique. Il est cependant des cas où il en est ainsi ; telle est l'équation

— ô -H — 9 = F (u, V, w, X, y), y = — li) = — ,

si on suppose que, le point [x, y) étant dans la région envisagée du plan, on ait pour toute valeur de ii, v, tv

Ul ^ \^v ) \hw

Une équation particulière donne lieu à une remarque très curieuse ; c'est l'équation

ii'lC 'd^U ^, .

-— - + ;— 5 = r(u, ce, y),

où F est une fonction positive, croissant avec u. Quand on effectuera les approximations successives, elles seront divergentes, si le contour n'est pas suffisamment petit; mais quel que soit ce contour, les u d'indices pairs convergeront uniformément vers une limite U, et les u d'indices impairs vers une limite V ; les deux limites trouvées U et V satisfont aux deux équations