TT %2TT

= F[Y,x,y) = F{\],x,tj)

et prennent, l'une et l'autre, la succession des valeurs données sur le contour. On peut montrer qu'il y a dans ce cas, quel que soit le contour, une unique intégrale prenant les valeurs données sur le contour et continue à l'intérieur ; les approximations successives ne la donnent pas, mais donnent deux fonctions U et V que l'on ne s'attendait pas à trouver. Bien entendu, si le contour est sufiîsamment petit, on a U =^ V.

601. La circonstance curieuse que nous venons de mentionner se rencontre d'ailleurs dans des problèmes plus simples relatifs aux équations différentielles ordinaires. Considérons l'équation différentielle

où /est une fonction positive, croissante avec y. Il existe une intégrale et une seule de cette équation prenant pour x^= a ei X = b des valeurs données, que nous pouvons supposer être nulles. On peut d'autre part essayer d'obtenir cette intégrale en procédant par approximations successives suivant la méthode générale, indiquée au début; or, si l'intervalle {a, b) est suffisamment grand, les approximations conduisent à deiix fonctions u et v s'annulant pour x = a et x = b, qï satisfaisant aux équations

on peut de plas établir que l'on a pour toute valeur de x entre « et è

L'équation très simple offre un exemple de la circonstance précédente.

602. Une conséquence intéressante de l'emploi de la méthode des approximations successives est relative à la nature des solutions des équations linéaires du second ordre. Soit l'équation

A —, -h 2B hC — , -+-D 1-E:; — hFî«H-G = 0

iiX^ ôXô?/ dij- 007 Oy

OÙ les coefficients A, B, C,..., G sont des fonctions analytiques àQ X q\ y dans une certaine partie du plan (c'est-à-dire susceptibles d'être développées en séries de Taylor autour de chaque point). On peut établir que, dans toute région oii