B2 — AG

toute intégrale bien déterminée et continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres est aussi une fonction analytique. Il n'en est pas nécessairement ainsi dans une région du plan oii B- — AC est positif.

603. Comme nous l'avons vu, les approximations successives ne conduisent pour les équations du type B à la solution cherchée que dans une aire suffisamment petite. Dans les cas où le problème proposé admet des solutions pour une aire quelconque, il faut combiner les approximations successives avec d'autres méthodes pour arriver au résultat. On peut souvent y parvenir au moyen de méthodes d'exhaustion, qui permettent de passer d'une aire à une aire plus grande ; ces méthodes sont encore en réalité des méthodes d'approximations successives, mais nous ne pouvons ici entrer dans aucun détail à ce sujet. Indiquons seulement un cas où elles peuvent être appliquées. Soit l'équation

où les coefficients d, e, f sont des fonctions continues de x et y. Si un contour fermé C est contenu dans une région du plan

il existe une intégrale et une seule de l'e'quation précédente, continue dans Faire limitée par C et prenant des valeurs données sur le contour C. L'existence d'une intégrale s'établit par les procédés auxquels je viens de faire allusion ; qaant au fait qu'il n'y a qu'âme intégrale satisfaisant aux conditions indiquées, on le prouve immédiatement de la manière suivante. Une intégrale de l'équation précédente ne peut en effet avoir un maximum positif à l'intérieur d'une région où elle est continue ainsi que ses dérivées partielles premières et secondes ; car soit {xq, y^) un point répondant à un tel maximum, on aura nécessairement en ce point

et ces inégalités sont incompatibles avec l'équation (63). Pour des raisons analogues, on ne peut avoir de minimum négatif. Ceci posé, si le problème posé avait deux solutions, l'équation (63) aurait une solution, non identiquement nulle, continue à l'intérieur de C et s'annulant sur G ; cette solution devrait avoir dans l'aire soit un maximum positif^, soit un minimum négatif.

604. J'indiquerai un dernier exemple, où une intégrale se trouve déterminée par des conditions un peu différentes, mais où les méthodes d'approximations successives permettent encore de trouver la solution. Envisageons l'équation

qui se présente dans plusieurs questions d'analyse et de géométrie. Une intégrale de cette équation est complètement déterminée, par la condition d'avoir n points singuliers Oj, Og,..., On à distance Unie, et d'avoir aussi comme point singulier le point à l'infini du plan, sous l'hypothèse qu'elle se comportera de la manière suivante aux divers points singuliers. Au point Oi l'intégrale devient infinie comme P; log r, en désignant par pi une constante supérieure à — 2, et par

Vi la distance du point [x, y) au point 0^ ; j'entends par là que dans le voisinage de Oi, l'intégrale est de la forme

pi log Ti + Vi

Vj étant continue à l'infini', l'intégrale devient infinie comme

— a log r (r = \/x- -f- y^\

a désignant une constante supérieure à 2. On a de plus l'inégalité

Une intégrale de l'équation (64) est complètement déterminée par les conditions précédentes. On a un exemple de conditions aux limites, qui est de nature différente de ceux que nous avons donnés plus haut ; les conditions aux limites sont ici le mode de discontinuité de l'intégrale en certains points singuliers, et cette intégrale est déterminée dans tout le plan.

695. Nous pourrions multiplier beaucoup les exemples, où l'emploi d'approximations successives convenablement dirigées permet d'établir l'existence et d'effectuer la recherche de certaines intégrales, Nous nous sommes borné à des équations à deux variables indépendantes ; le cas de plus de deux variables fournirait d'autres applications. Bien ancien est d'ailleurs, en analyse, l'usage des approximations successives, surtout dans les applications ; mais souvent, pour des raisons diverses, la question de la convergence des approximations n'est pas complètement élucidée. Au contraire^ dans les problèmes que nous venons de nous poser, les solutions se présentent avec toute la rigueur qu'exigent les mathématiques pures. On aurait pu prendre encore des exemples ailleurs que dans la théorie des équations différentielles : certaines équations fonctionnelles^ notamment, peuvent être étudiées en procédant par approximations successives ; les questions, dont la solution vient d'être esquissée, montrent assez la souplesse de la méthode.

Notions prélîiiiinaîres ; définitions

606. Le calcul des variations a été imaginé par Euler et Lagrange pour résoudre des problèmes tels que celui-ci : Trouver une courbe plane qui passe par deux points A et B et dont l'arc compris entre ces deux points engendre une aire minimum en tournant autour d'un axe situé dans son plan. Ainsi, tandis que, dans la recherche ordinaire des maxima ou des minima, on a à rechercher pour quelles valeurs de la ou des variables une fonction connue de ces variables devient maximum, dans le calcul des variations la forme même de la fonction est inconnue. De plus la fonction inconnue figure sous des signes d'intégration.

Afin de simplifier le langage, nous adopterons, pour désigner l'un quelconque des deux mots maximum ou minimum le mot unique extremum adopté par le D"" Kneser dans un ouvrage qu'il vient de publier sur le sujet qui va nous occuper. Nous nous bornerons au cas de deux ou de trois variables à cause des facilités que présente, pour l'exposition, le langage géométrique ; l'extension au cas d'un plus grand nombre de variables se fait sans difficulté.

Enfin nous ne rechercherons que des conditions nécessaires à l'existence de l'extremum, ce qui suffit la plupart du temps dans la pratique. C'est ainsi que dans la théorie élémentaire du maximum d'une fonction d'une variable on n'a besoin, la plupart du temps, que d'annuler la dérivée première : on voit

Calcul ikfihiiésimal 48

754 CHAPITRE XVll

ensuite, sans difficulté et sans calculer la dérivée seconde, si la fonction passe par un maximum, par un minimum ou si elle est simplement croissante ou décroissante.

Nous supposerons que les fonctions sur lesquelles nous aurons à raisonner sont ce que Jacobi appelait des fonctions raisonnables, c'est-à-dire qu'elles seront continues, pourvues de dérivées, développables en séries de Taylor, etc.

607. La différentielle d'une fonction d'une variable est la partie principale de la différence entre les valeurs de la fonction pour deux valeurs voisines de la variable.

La variation d'une fonction est la fonction qu'il faut lui ajouter pour obtenir une autre fonction, la fonction ajoutée étant par définition arbitrairement petite. Par exemple on pourra assurer cette petitesse par la présence d'un facteur numérique z. Soit

la fonction donnée ; si l'on désigne par ^oo la variation, et par F [x) la nouvelle fonction à obtenir on aura

hx = Y{x) — f{x), (2)

Géométriquement on peut dire que les deux courbes qui ont pour équations respectivement

y = fi^)

et

restent, pour chaque valeur de œ, très voisines l'une de l'autre. Ilne faut pas d'ailleurs s'arrêter à cette idée que les points des deux courbes se correspondent nécessairement pour une même valeur de x. Pour éviter la difficulté qui pourrait résulter de cette idée dans certains cas, nous supposerons toujours les deux coordonnées ^ et y de la courbe (G) exprimées en fonction d'un paramètre X ; le passage à la courbe voisine (C) que nous appellerons la courhe variée s'effectuera

en ajoutant k ,x et y des fonctions de ^ que nous désignerons par la notation ox et oy, et qui peuvent rester indéterminées pour le moment. Ces fonctions ox, oy, par hypothèse très petites, s'appelleront les variations de x et de y.

608. Pour n'y pas revenir, nous conviendrons toujours d'appeler (A) un arc limité de la courhe (C), (A') l'arc correspondant de la courbe (C). Voici comment s'établira la correspondance : X(j sera la valeur du paramètre qui définit l'origine Mq (xq, yo) de l'arc, X^ la valeur qui définit l'extrémité M^ (x^, ijj de l'arc (A) ; occ^, 8^^ seront des expressions en X^, Bxi, 5yi,en Xj ; le point M'o, origine de l'arc (A'), aura pour coordonnées Xq -h oxq, î/o -t- 8?/o, l'extrémité M\ du même arc aura pour coordonnées x^ -+- ox^, y^ + hj^, de sorte que, pour l'arc (A') comme pour l'arc (4), les coordonnées des extrémités seront supposées exprimées en fonction d'une même valeur du paramètre, Xq ou Xj.

Nous supposerons que l'arc (A) ne présente aucun point singulier, c'est-à-dire que les dérivées par rapport à X, x'\ , y'\ ne s'y annulent pas en même temps. Il en sera de même sur (A') si les variations sont convenablement choisies.

009. Toute fonction F [x, y) des coordonnées x Qiy subira par la substitution àe x -[- ox, y -\- oy k x, y une altération

¥[x -\- ox, y -\-8y) — F [x, y),

et il en sera de même de toute fonction plus compliquée contenant non seulement les coordonnées, mais leurs dérivées d'un ordre quelconque par rapport à X, F(x, y, x', y', x", y" ...). On aura, pour l'accroissement, une expression

AF=F [x -h ox, y -h oy, os' H- 8^', y' -h oy', x" H- ox" ...) j

^ -Fix,y,x',y',x"...) r>

que nous supposerons, ainsi que nous l'avons déjà dit, développable en série de Taylor. Dans ce développement, les termes du premier ordre par rapport aux variations ^x, Sy, Sa;', oy', ox" ... constitueront \a>.variation première ou simplement la variation ^F de F

8F = F'^ 8a; -h F'y hj + F'^, Sa;' m- F',, hj' -\- F',., ox" h- ... (4)

Ainsi, en partant du point M d'une courbe, on peut soit se déplacer sur la courbe ce qui se fera en donnant au paramètre X un accroissement dk, d'où résulteront pour les coordonnées, pour leurs dérivées et pour toute fonction des quantités précédentes des accroissements dont les parties principales seront les différentielles des quantités correspondantes. On peut aussi laisser l invariable et donner aux coordonnées des accroissements ^x, ^y fonctions de l, d'où résulteront les variations qui viennent d'être définies.

610. Pour bien faire ressortir la différence qui existe entre la différentielle et la variation, considérons par exemple l'intégrale

^ J= / f(k)dl; • (5)

c'est une fonction de a et de è dont la différentielle s^obtiendra en donnant k a et k b des accroissements très petits

dJ = f{b) db — f{a) da. (6)

Au contraire, la variation de J s'obtiendra en donnant kf{\) un accroissement arbitraire, mais petit, 4* (X) et l'on aura

Le calcul des Variations a pour objet précis la variation des. intégrales définies ; nous commencerons par étudier les intégrales simples dans lesquelles ne figurent sous le signe f que des fonctions des variables ^, ?/, s ... et de leurs dérivées du premier ordre par rapport à la variable indépendante, qui sera distincte de x, y, z, sauf avis contraire, et que nous désignerons par la lettre X. Nous nous bornerons à écrire deux lettres x et y, l'extension à un plus grand nombre de lettres ne présentant aucune difficulté. Il nous sera permis alors de

parler d'intégrales prises le long de la courbe (C) ; elles seront de la forme

J= / ¥{x,y,x',y')crk. (8)

où Xf y sont des fonctions de X.

Premières foriiuiles du calcul des variations

OU. La courbe (C) sera définie par les équations

2/ == cp (X)

Le point M' de la courbe variée sera donné par

i° Variation des dérivées.

Les dérivées des coordonnées de M' seront

les variations Sr»', hj des dérivées x' , y' par rapport à X auront donc pour expression

^ , d , rs . dx dùx

ce qu'on peut écrire

dx d [ox] r. dy d (Sy)

dX ~~ ■~^>r ' '^dk'~dî'

OU, plus simplement, puisqu'il n'y a qu'une variable indépendante

^dx = clox, ody = d^y. (13)

D'où ce théorème : on peut intervertir V ordre des opérations exprimées par les caractéristiques d et S.

Corollaire. On a, quels que soient les entiers m et n

c?'« o'Hi = 8" (i™ w. (14)

2° Variation des deux fonctions

y' du x'

* X dx ^ y'

On a

^ x' -{- Aa?' x' x' {pd -h Lx')

d'où

g ^ x' dy' — .y' ^x\ ^ x'-

ou, à cause de (12),

■s 1 dly p d^x

^ x' rfX x' oJA

^ dx dhi — dy dox °^= d^- —

De même

. dy d^x — dx dBy ^6)

^ dy^

La première de ces deux formules est valable tant que x' n'est pas nulle, la seconde, si y' ne l'est pas.

3° Soit encore F {x, y, x', ij) une fonction régulière en tous les points de l'arc (A) ; on aura immédiatement

8F = F', Sa; -4- F'„ ^y + F',, oV -h F',, y. (17)