La formule (19) s'écrit
SJ„, = / (F', ^œ -\- ¥'y oy H- F',,^x' -h FV Sy') dl.
760 CHAPITRE XVll
Intégrons par parties les termes qui contiennent Ix' , hij après
avoir remplacé ces variations par (12) -^' -^^ ; on aura par exemple
Si donc on pose
F'^. -^- dk = Y\, ox— j —^ dl ox.
P^F'.-f., Q = F',^', ' (22) la formule (19), qui donne la variation SJ^^ deviendra
8Joi==[FVSa^ + FV%] '+ / {?^x -^ (à^y)d\ (23)
P et Q contiennent les dérivées secondes, x", y" ; nous supposerons ces dérivées continues comme ce, y, x' , y'.
6 1 3. La formule (23) peut être simplifiée dans le cas, très fréquent^ où J^, est indépendante du choix de la variable d'intégration et ne dépend que de l'arc et de la nature de la fonction intégrée. On doit en effet avoir, dans ce cas, en désignant par iJ. une autre variable
F (^x,y, g, -^f) dl = F [x,y, ^-^, ^f) d^,
ce qui entraine, en remarquant que
l'identité
hx bx dl î)y by ôX , d^i. 7,
^ V '^' dix ôX ' dt^ ôX; — diJ. ^ 1,^'^' ôX ' ôX/'
OU, en posant
V(x,y, kx' , kij) =^F(a7,2/, œ' ,ij').
La fonction à intégrer, qu'on peut appeler dans le cas actuel fonction d'arc, est donc homogène du premier degré en x' et y'. Cette fonction, étant homogène, satisfait à l'identité d'Euler
Dérivons les deux membres de celte dernière identité par rapport à x, on obtient
^ = xb r'-^yi^ y -^o: -^ -\-y -^ '
mais l'on a directement
d'où, en retranchant,
c'est-à-dire
?x' H- Qy = 0 (24)
614. Tirons de cette dernière égalité, soit P, soit Q, pour porter dans l'égalité (23) ; nous obtiendrons, pour la variation de l'intégrale, une des deux expressions
\ /"'^^ SJ,^ = [f V ^x + FV 8 J V / (àd\ (hj - p^x) (2b)
SJo
, = [fV ox -f- F',. 8»/] ' -i- / Pdl (ox - qhy) ; (26)
dy
rappelons que, dans ces formules, p désigne ^ et ^ la quan-
. , dx
615. Ces formules s'étendent sans difficulté au cas d'un nombre quelconque de variables dépendant d'un paramètre X. Nous nous bornerons à les transcrire
^F{a^,y,...z,iv, x' ,y\...z' ,iv') = SF'^Sa; -{- ^F'Jcc',
/"kl Fd\
= h'Jx■+...-^F'^,Mvy -i- {P^CG-\-...-^Soiv)dl (27)
où l'on a posé
ri/ î**^ w
— -T wi rr —
Premières conditions nécessaires à l'existence d'un extreniuni. Applications.
616. Il s'agit de rendre extremum, c'est-à-dire maximnm ou minimum, l'intégrale
/\ F[x,\j, x',y')dl,
les variables et les dérivées étant ou non soumises à des conditions, soit dans leur ensemble, soit seulement aux limites. L'accroissement de cette intégrale devra conserver un signe constant lorsqu'on remplacera la courbe C par une courbe quelconque infiniment voisine. Désignons par
une série ordonnée par rapport aux puissances ascendantes
de u, V, IV ... et dont les termes d'ordre moindre seront du degré p. Nous pourrons écrire, pour l'accroissement de Joi, lorsqu'on remplace le point décrivant^ x, y par le point
Considérons encore la courbe décrite par le point x -h tox, y -h £0^ OÙ E désigne une constante aussi petite que nous voudrons ; l'intégrale deviendra J^j -4-As Jop et l'on aura
Dans cette égalité, le premier terme du second membre est prépondérant et lui donne son signe ; comme il change de signe avec s, il doit être nul si l'accroissement de l'intégrale doit garder un signe constant. On doit donc avoir
SJoi = 0,
c'est-à-dire
[Y'Ax -i- FVSt/]J; -+- / (PB^ -\- Q^y)dl = 0. (29)
QIH. Nous supposerons d'abord que les variations soient absolument arbitraires. Partageons alors l'arc A en parties sur chacune desquelles P ou Q conserve un signe constant ; soit par exemple un arc A23, correspondant aux valeurs X^ et >3 du paramètre, sur lequel Q reste positif. Nous choisirons les variations de la manière suivante : partout, sur l'arc A, sauf sur la portion A23, 8a? et Sy seront nulles ; de plus sur l'arc A.^^ on aura
Bx = 0 ^y=(\-\)(k^-l), ^3>A,
La variation de l'intégrale SJqi, qui doit être nulle, se réduit à
Mais, dans cette dernière intégrale, tous les éléments sont positifs ; elle ne peut donc être nulle que si l'on a identiquement
Le raisonnement se répétera d'ailleurs pour chaque portion de l'arc correspondant à un extremum, et l'on verra de même qu'on doit avoir
Nous appellerons courbes extrémales celles le long desquelles les conditions (30) et (31) sont vérifiées, c'est-à-dire qui correspondent à un maximum ou à un minimum de l'intégrale Jm. Il résulte d'ailleurs de l'identité (24) qu'une des équations (30) ou (31) entraine l'autre, lorsque x' ou y' ne sont pas nulles.
618. Premier Exemple. — Trouver le plus court chemin entre deux points.
L'intégrale qu'il s'agit de rendre minimum est
L'équation (29) est ici, en tenant compte de (22), 0 = l~=£= Bx H- , •^' Syl '
- dl yox ^^ . ^==p + o,j ^^ ^^^rz^.j
Les extrémités du chemin cherché étant fixes, on a pour X„ et pour >.j
s^o = S2/0 = ^^i = °yi = 0, ,
et les conditions (30) et (31) deviennent
^ -pi/ ^ ^ f\ jo^ y /^
d\ ""' ~ dl sjaj^ -h z/'2 "~ o?>^ ^^'2 | y2 ~~ '
d'où
et, en divisant membre à membre,
î/ = «iZ; -H 6. (33)
Ainsi les courbes extrémales sont des lignés droites. Les constantes arbitraires « et 6 se déterminent en exprimant que la droite passe par les deux points donnés.
619. Nous avons implicitement supposé la ligne inconnue plane. Mais le calcul reste le même si l'on introduit trois coordonnées au lieu de deux.
L'équation (32) est remplacée par la suivante
0 = r ^ Zx H- —=É== Sy
ip -\- z'^ Jlo J L f^^ v/a;'' -^ 2/'^ -h ^'2
"^ y dl ^^'2 ^ y2 ^ ^'2 ' -' d\^oo"- -\-y"' -\- z'U'
766 CHAPITRE XVll
d'où les conditions
T/T? ' J ZjI 7'~7Jï \~~Zr2 ^' ./TTl , „/2 ; 'Ztl ' 2'
y =z ax -\- 1, z =^hx -\- ^.
La conclusion reste la même.
6!30. Il est essentiel d'observer que les formules utilisées jusqu'à présent supposent expressément que la variable indépendante en fonction de laquelle sont exprimées les différentes lettres x^y ... ne figure que par sa dilTérentielle. Comme, le plus souvent, les variables sont exprimées en fonction de l'une d'entre elles qui figure aussi sous le signe / par sa différentielle, nons allons voir comment il convient de modifier les formules dans ce cas.
A cet effet, soit x la variable indépendante ; nous désignerons par f[x, ?/, p) une fonction définie par l'identité
f{x,y,p)= -^-^, ^' \^ = dxy
fonction qui s'introduit naturellement si l'on réfléchit que, F(j?, î/, .«', %J) étant homogène et du premier degré en x' et y', l'on a
F {x, tf, x', y',) = œ' F (x, y, \, |-, j ; la fonction f[x, y,p) n'est donc autre que la fonction
On aura alors
ôF^ , ô/" ^ /^
^X l)X^ by ^1/ ' ) (34)
ôF ^ „ " ôF
ox' ~^ ^ ^f ^' ^./ — /V
CALCUL DES VARIATIOiNS 767
La formule (2a) devient ainsi
«^Joi = [(/-PAO ox^f, S^]^^ -^ dx {ry--^Yoy-p^x){dQ).
Par analogie, on pourrait introduire une fonction
{x, y, q) ou 2' = ^- ,
d'où
dfq
et mettre la variation de l'intégrale (26) sous la forme
■U,. = \J\^x^(J-qf\)oy]^^-^ / dy{f'.-^^) {^^-qh).
Cette dernière formule pourrait être utilisée dans le cas où, par suite de l'évanouissement de x'j la précédente deviendrait illusoire.
631. Avec les nouvelles notations, la condition d'extremum de l'intégrale Jqi s'écrit, soit
sait - .
0!S!S« L'équation
i)y dx hx ôy dx hy'
développée^ s'écrit
M. Darboux a lait remarquer que, réciproquement, toute équation différentielle du second ordre peut être considérée comme définissant une infinité de fonctions f{a;, y, y') telles que l'intégrale.
/ (^» 2/» y') cix
prise entre deux points quelconques de l'une des courbes intégrales de l'équation considérée soit un extremum. Pour le voir, soit
l'équation différentielle du 2« ordre donnée ; si ses intégrales sont les extrémales d'un problème de variation, elle devra être identique à Téqualion (39), c'est-à-dire que la valeur de «/' tirée de (40) devra vérifier l'équation (31)) quelles que soient x, y' et y'. \f sera donc une solution de l'équation aux dérivées partielles
considérée comme contenant les trois variables indépendantes œ^ y, y'. Le problème comporte, on le sait, une infinité de solutions. '
633. Cherchons, par exemple, les problèmes d'extremum qui conduisent à l'équation
Il s'agit d'intégrer l'équation
J!/ u' H- ^'^ — ^ = 0. (39 bis)
A cet effet, nous commencerons par dériver par rapport à y' ce qui donne
Posons
réquation précédente s'écrit
ôM , M „ — V -h — = 0 ;
elle est linéaire et homogène. Pour l'intégrer^ on sait qu'il faut considérer le système d'équations différentielles ordinaires
dx dy dy'
T ~ y" 0" dont l'intégration est immédiate. On a
y — aa; = P d'oii les deux intégrales
a = î/' P = y — xy' €t
M = F {y', y - xy')
F étant une fonction arbitraire.
On a ensuite (41)
Intégrons et, pour éviter des confusions, changeons le nom de la variable sur laquelle porte l'intégration ; il vient
|^= / 'P{^,y-^^)di-^F,{x,y) ^ 0
f {ce, y, y') = dy' F (?, y — '^x) d^, + y' F, {x, y) + F^ {x, ij).
Calcul infinitésimal 49
OU, en intégrant par parties,
Fj et F2 désignant des fonctions arbitraires. Mais, comme nous avons commencé par différencier, cette solution est trop générale. Il faut exprimer qu'elle convient à l'équation (39bis), ce qui donne la condition
qui permet de considérer Fj et F^ comme les dérivées partielles d'une même fonction arbitraire 9. On a ainsi pour solution définitive du problème
f{^, y, y') = / (// - 0 F il y - ix) d\ + y' I + £ et les extrémales de l'intégrale.
f{x,y,ij')dx = ^
sont les droites
y =z ax -\- h, solutions de réqua%ion
6!S4. Deuxième exemple. — Ti^ouver la courbe plane passant par deux points et qui, en tournant autour d'une droite de son plan, engendre une surface de révolution d' aire minimum.
Si l'on prend l'axe de la surface comme axe des x et une perpendiculaire comme axe des rj, l'élément de l'aire de la sur-
face de révolution sera 2izy ds,s étant l'élément d'arc de courbe. L'intégrale à rendre minimum est donc
2^ J = / y ds= I y \/\ -^p'dx
Parmi les différentes formes que l'on peut donner à la condition cherchée, nous choisirons, parce que x ne figure pas explicitement sous le signe J , la suivante
p = f'.-1fv = o, • '^ -
qui donne
ou, à cause de (34)
c'est-à-dire
On en tire
dx \ a^ "■•
Nous avons déjà rencontré (n'^ 449) cette équation différentielle ; elle a pour intégrale
C'est la méridienne de la caténoïde déjà rencontrée (tome l"n''528).
Les courbes extrémales, dans ce problème, sont donc des chaînettes. On déterminera les deux constantes arbitraires introduites par l'intégration en exprimant que la chaînette passe par les deux points donnés.
635. Remarque. — On ne trouve pas toujours des valeurs re'elles pour les constantes arbitraires. Supposons, par exemple, que les deux points donnés A et B soient symétriques par rapport à ox^ et aient pour coordonnées ^o, ^o et — ^o, 2/o- On voit aisément que, dans ce cas, h est nulle et que a est donnée par l'équation transcendante
