yc

en discutant cette équation, on trouve que l'angle AoB doit être infe'rieur à l'angle, 33° 32', des deux tangentes à la chaînette issues du point o.

Nous sommes ainsi conduits à ce résultat paradoxal que le problème posé ne peut pas admettre de solutions. Cela tient à ce que nous avons exclu, dès le début de notre analyse, les solutions discontinues, par exemple les courbes qui présentent des points anguleux. Sans entrer dans la recherche de cette catégorie de solutions, recherche qui exigerait de longs développements théoriques, nous dirons qu'ici la courbe extrémale, lorsqu'elle n'est pas une chaînette, se compose de deux ;perpendiculaires AA', BB' abaissées de A et B sur ox et de la portion de l'axe ox comprise entre ces perpendiculaires. Cette solution, évidente géométriquement, peut être aussi vérifiée par le calcul : elle s'obtient, en supposant nulle la constante a que le calcul précédent supposait essentiellement différente de zéro. Il en résulte immédiatement

de plus nous avons implicitement supposé x' différent de zéro. Il faut donc ajouter les portions de courbes correspondant à l'hypothèse x = constante,, ce qui donne les deux droites AA' et BB'.

626. Dans les deux exemples que nous venons de traiter, les variables et les dérivées se trouvent séparées sous le signe

/. Ce cas se rencontre fréquemment dans les applications et nous devons y insister un peu. Soit donc l'intégrale

J = I ^{x,tj, z) ds, avec

ds = \Jx'^ 4- ij' -+- ^'2 d\ = Rc^X ; on a ici

F {x, ij, z, x' ) = Rcp (x, y, z).

Les équations des extrémales (30) seront donc ici

'bx rfX V dx' j et deux autres pareilles ; par suite, comme

<^R x' x'd'k dx

dx' ~ R R(iX ds '

on aura

y dsj bz j

Ces équations qui ne contiennent que des éléments géométriques et qui, d'ailleurs, se réduisent à deux, sont susceptibles d'une interprétation intéressante que nous signalerons en passant.

Les extrémales sont les figures d'équilibre d'un fil sollicité par une force dérivant de la fonction des forces — «? (x, z/, z), la tension du fil étant assujettie à avoir la valeur «p [x, y, z) (Môbius, Statique, 2"^^ Partie, Chap. VII),

6!S7. Troisième exemple, — On appelle brachistochrone la

courbe que doit suivre un point matériel pesant, abandonné à lui-même sans vitesse initiale, pour aller du point A au point B dans le temps le plus court. C'est cette courbe dont nous nous proposons d'obtenir l'équation.

Soient ox et oy les deux axes de coordonnées, le premier horizontal passant par A, le second vertical passant par B. Nous admettons comme évident que le point mobile ne sortira pas du plan vertical qui contient les deux points A et B. Cela posé, on sait que la vitesse v du mobile a pour valeur, à chaque instant, la hauteur dont est tombé le point matériel multipliée par s/lg, g désignant l'accélération due à la pesanteur. On aura donc, en désignant par s la longueur de l'arc parcouru comptée à partir du point A, par t le temps et par h l'ordonnée du point A,

d'où

L'intégrale à rendre minimum est donc

X étant la variable. Elle s'écrit

et l'on peut toujours appliquer la même règle pour obtenir le minimum, c'est-à-dire écrire la condition

en désignant par c une constante arbitraire. On déduit de là

^y ^ i A — h + y^ doG V h — y '

en choisissant le signe moins parce que les axes ont été fixés de manière que y décroisse lorsque x croît. Posons

h — y =c sin^ a = ^ (1 — cos 2 a)

d'où

— dy = -i- 2c sin a cos a da. ;

réquation différentielle devient

2c sin ce cos a o?a = dr -. — dx sin a

c^a; = d= 2c sin^ a dx = zh c {l — cos 2a) dot,

et en intégrant

a; — &z=±e(a — ^ sin 2a) = dr ^ (2a — sin 2a).

Si h désigne l'abcisse du point B qui correspond a y = 0 (a = 0), on aura finalement pour équations de la brachisto- €hrone

0) = -^ (2a — sin 2a) H- b

y = h~-~ ^{l — cos 2a).

On reconnaît les équations d'une cycloïde dont le cercle générateur a pour diamètre c.

776 CHAPITRE XVll

Remarque. — On peut généraliser le problème précédent en supposant d'une part que le point est lancé avec une vitesse initiale Vq^ d'autre part que la force agissante, au lieu d'être la pesanteur, dérive d'une fonction de forces TJ (x, y, z). Si Ton suppose constante la quantité h définie par l'égalité

le théorème des forces vives fournit l'équation et l'intégrale à rendre minimum est

TïlV^

, — , ds

t = sjm

v/2(U-hAV -^ (a)

Elle rentre dans le type étudié au numéro précédent.

638. Quatrième exemple. — Equation différentielle des lignes géodèsiques. Nous avons déjà parlé (Tome premier^ n° 517) de ces lignes; la propriété caractéristique, dont elles jouissent, d'être le plus court chemin entre deux de leurs points pourvu que ces points soient suffisamment rapprochés, permet de former immédiatement leur équation différentielle. Soient 11^ v les coordonnées curvilignes d'un point de la surface dont les coordonnées cartésiennes sont x, y, z ; nous savons que l'élément de courbe peut se mettre sous la forme (tome premier, n" 477).

ds = \/e dic' -+- 2 F du dv -t- Gdv^ = v/e ~h 2 Fv' H- Gu'2 du. "

Il s'agit de rendre minimum Pintégrale

2 Fv' -h Gî;'2 du ,

On a ici

ô/^ ou ÔU ÔU

^ "~ 2 v/e + 2Fu'-i- Gy'2 s/ ^ F -f- Gu^

^^' " \/E + 2 Fu' -h Gy'-2

OF / ôG /-, /;

h V h Gw'

OU ôz< \/E-+-2Fi)' -hCy"^ ^^ H 2u' - ~h v'-' '-^ + 2 (F + Gy') u"

/m 1 n ?\ ÔW ôW ôW

— (f + Gu )

/(E + 2 Fu' -h G?;'2)3 Il suffit de porter ces valeurs dans l'équation (37)

^ ^ -^ = 0 ou du

pour avoir l'e'quation cherchée que nous ne transcrirons pas, l'ayant déjà donnée dans le Tome premier (page 334) sans particulariser la variable indépendante.

Il résulte de cette équation qu'en un point d'une surface il ne passe qu'une ligne géodésique y admettant une tangente ; car si pour u = u^^, on donne t; == Vq et î;' = v\^ l'équation fera connaître t;"o, et par suite v"\.... Nous avons fait observer (1, 520) qu'au contraire par deux points donnés, quelque voisins qu'ils fussent, il pouvait arriver qu'il passât une infinité de lignes géodésiques. Le fait sur lequel nous appelons l'attention du lecteur a une portée plus générale que celle d'une simple interprétation géométrique ; il suffit, pour s'en rendre compte, de considérer la généralité de l'intégrale J sur laquelle nous venons de raisonner. Il faut donc concevoir que deux points ne déterminent pas toujours une extrémale de l'intégrale

F ix, y, x\ y') d'K,

tandis qu'une extrémale est parfaitement déterminée par un point et la tangente en ce point.

Si d'ailleurs nous avions adopté pour le ds^ la forme donnée dans le tome premier à la fin du n" 526, savoir

ds" = diâ -+- Gdv\ - -

dans laquelle ti représente la longueur d'un arc de géodésique, tandis que les courbes u = constante sont les trajectoires orthogonales des géodésiques, la propriété de minimum dont nous nous occupons ici eût été immédiatement démontrée. En effet soit M un point de coordonnées Uq, Vq, situé dans la portion de surface que peut balayer entièrement sans y passer deux fois, un arc géodésique de longueur Uq suffisamment petit tournant autour de son origine 0. De 0 à M ira une seule ligne géodésique de longueur Uq ; tout autre arc allant de 0 à M aura une longueur

évidemment supérieure

du = îCq.

6S9. Le problème des géodésiques peut donc encore s'énoncer de la manière suivante : mettre le ds^ sous la forme dQ^-{-<j^d^, c'est-à-dire trouver trois fonctions G, ôj et a de z^et de V telles qu'on ait identiquement

Edic'- -t2Fditdv-h Gdv^ = dB^ 4- <j^dfii,

ou encore telles que ds^ — d^^ soit carré parfait. Si l'on pose