Considérons encore l'égalité démontrée au n

I e-^'^dx = -^ \/'K «-'0

et, dans cette égalité, faisons, x = y \/a, a étant positif, nous aurons

/ e-^y'di/ = — 7^ /tt.

DES INTEGRALES DEFINIES 99

76. Nous avons admis dans les numéros précédents que le changement de variables était légitime, comme aux n°s 29 et suivants. Il faut cependant y regarder d'un peu plus près.

X = f{ij)

l'égalité qui définit le changement de variables : on en déduit

dx = f'iy) dy et par suite

/ F{p^dœ= / Y[f{y)]f,'dy.

11 faut que fy reste finie et bien déterminée dans le champ de l'intégration. De plus puisque, par définition, x varie toujours dans le même sens, il doit en être de même pour y. Considérons par exemple l'intégrale

et posons

d'où

X = arc sm y

dx = dz -;— ■'- - \/l — y^

Pour ?/ = 1, la dérivée x'y de x devient infinie ; il faut alors diviser l'intervalle en deux et po&er

Lorsque x croît de o à | — £, ?/ croît de o à 1 — r,, et il n'y a pas de singularités. On peut donc poser.

'' C ' r ri

sin'"a; dx = I --=--= ay ;

/ v/1 - if

de plus, si a est un nombre compris entre ^ et 1, le produit

de — ^^'— par (l — yY tend vers zéro lorsque y tend vers mz;

la dernière intégrale a donc une limite déterminée (n° 17) lorsque r, tend vers zéro et l'on peut écrire

siii'"x dx = / 77^^=- dy-

Pour ^ variant de 5 à tt, a;'y est négative, y décroît de 1 à 0, et l'on a

/ siQ'"j? dr = / # ; f^y = / 77'-^- — ; %

Finalement

/ si 11 "'07 dx = 2 j 77^==i d'J

Cet exemple suffit pour montrer comment il faudra opérer dans chaque cas. On décomposera le champ de l'intégration en plusieurs parties dans chacune desquelles il ne se présente de singularités qu'aux limites.

Par exemple, dans l'identité

fix)dx = I f{x)dx -\- I f{.r)dx, 1 • ^—i «^0

DES INTÉGRALES DEFINIES 101

faisons

nous obtenons

Des intégrales définies qiiî se déduisent de rintéarale indéfinie

HH, La méthode la plus simple est celle qui consiste simplement à appliquer la formule (3) du chapitre précédent. Ainsi Ton a

on en déduit immédiatement

I e^dx = e^ — 1,

comme on l'a trouvé au numéro 68.

De même la formule

dx , b — = lag , X ° a

résulte immédiatement de celle-ci :

dx ,

— =\ogx-i- .

78. Lorsqu'on a à calculer une intégrale définie, il arrive que les formules de récurrence se simplifient beaucoup et qu'un calcul pénible sur l'intégrale indéfinie devient facile si l'on introduit les limiles.

Soit par exemple à calculer

(7„j = / sin"'a.^ dx.

En introduisant les limites dans la formule (73) du chapitre précédent, elle devient

Ka = -^K.-, (16)

et en changeant m successivement en m — 2, m — 4. m — 2p -h 2

Multiplions ces égalités membre à 'membre, il vient, après une simplification évidente,

Ici deux cas sont à distinguer suivant la parité de m. Si m est pair, on rencontrera, pour p ='^ ^ l'intégrale A „ dont

la valeur est [^; si m est impair, on aboutira à A^ qui est

évidemment égale à un ; d'où les deux formules suivantes, déduites de (17).

Soit m = 2k, on fera j^ = h, ce qui donne

DES INTEGRALES DEFINIES 103

au contraire, pour m = 2k + 1 etp = k; on obtient 2k.{2k-2)...2

Forimile de W allis