EG — F
on trouve sans peine la condition
qui est aussi suffisante ; car on aura alors
ds^ = d^^ -\- {m du -+- n dvy, ou, en choisissant convenablement le facteur intégrant (n° 399),
ds'- = d^^ -h (7^ d^].
Cela posé, l'on peut énoncer le théorème suivant : Si l'on a une solution contenant une constante arbitraire di, F équation générale des lignes géodèsiques sera
ha v
Dans cet énoncé, il faut entendre que a figure au moins dans une des dérivées ^ ou — , et n'est pas seulement introduite par l'intégration de c?e. L'identité
^52 ^ ^02 ^ ^2 çl^ï
différentiée en faisant varier seulement a donnera, parce que ds"^ est indépendant de a,
■ o = '»'*(M) + "i«.Cr:^«. + "'(S)]-,.
11 en résulte que la fonction linéaire d^^ de du, dv, divise dQ OM d ir-j ; mais ce ne peut-être c?ô, sans quoi ds- serait un
vu
carré parfait. Donc 6^ est fonction de ^- et l'on peut poser, si l'on veut,
Or les géodésiques ont pour équation, avec la forme choisie du ds"-,
6j = constante ;
leur équation sera donc
Cette équation renferme les deux constantes arbitraires a a' ; c'est l'équation générale des géodésiques.
630. Jusqu'à présent, les extrémités de la courbe cherchée étant fixes, et la courbe variée pouvant être prise arbitrairement, nous avons pu négliger la partie toute intégrée de l'équation (29). On peut souvent, par un choix convenable des variables, ramener au cas précédent des problèmes qui, à première vue, n'y paraissent pas renfermés.
Cinquième exemple. Déterminer la courbe de longueur donnée 1 qui issue d'un point et limitée à une droite do7inée, menée par le point, enferme avec la droite une aire maxima.
Prenons le point 0 comme origine des coordonnées, la droite donnée comme axe des x, et une perpendiculaire à 0^ comme axe des y. Il s'agit de rendre maximum l'intégrale
sachant que
\^dx^' -+- di/ == l.
Le problème étant posé dans ces termes, nous ne sommes pas encore en mesure de le résoudre. Mais prenons pour variable
indépendante l'arc de courbe compté à partir de l'origine [1 = s) ; nous sommes ramenés à rendre maximum l'intégrale
dans laquelle x et y sont considérées comme des fonctions de s. On a, entre les variables, la relation
dx^ -h dy^ = ds^.
d'où l'on tire
et J devient
da^ = y^i-['^ljds
^= /V^-l^fV'''-
La quantité à iatégrer ne contenant pas .ç explicitement, nous appliquerons encore, comme dans le problème précédent, la formule
f— Pf'p = a,
rap pour équation différentielle
en désignant ici par p le rapport ^j . Les extrémales ont donc
ds J
ou
a- \ds J
ds =
adt/
y = a sin
782 * cr
