X -\- c = a cos

ds a

L'élimination de s donne enfin pour équation des extrémales

î/2 + {cG -h c)' = a^.

La courbe clierchée est donc un demi-cercle : on achève le problème en déterminant les constantes arbitraires. On doit avoir, pour s = 0, x = y = Oce qui permet de prendre 5 = 0, c = a. Pour s = l, il faut encore avoir y = 0, d'où ^ = air et

631. Sixième exemple. — Trouver la surface de révolution qui, sous une aire donnée w, renferme le volume maximum, étant entendu que cette surface rencontre son axe en deux points et en deux points seulement.

Nous prendrons l'axe de la surface pour axe des x, un sommet de la surface comme origine des coordonnées^ et, comme coordonnées, la perpendiculaire y abaissée d'un point de la méridienne sur cet axe et l'abscisse du même point. L'intégrale à rendre maximum est

sachant que

a une valeur constante w. Sous cette forme, nous ne savons pas encore résoudre le problème ; mais prenons comme

deuxième variable, au lieu de x, la portion m d'aire comprise entre le sommet et un parallèle quelconque ou plutôt cette aire divisée par liz ; l'intégrale à rendre maximum sera

J = / y^ doc;

il s'agit seulement de l'exprimer à l'aide des variables y et u. Or on a

du = y ds = y ydo)^ + dy^, ou

"^"^ = vd T ~ ^^' = ^^' v^^ ~ (Mî '

Donc

Comme u ne figure pas sous le signe /, c'est encore l'égalité f—pfp=a

que nous allons appliquer. L'équation différentielle de l'extrémaie est donc :

Y \du/ \duj

ou

ij = a

L'intégration s'effectue sans peine et l'on trouve

u — bV

Comme u et y doivent s'annuler en même temps, il faudra poser

b = ±ia\

ce qui donne, pour l'équation de l'extrémale,

Pour y = 0, on doit avoir ii = 0 et w = œ ; nous supposerons de plus que u croisse avec y, ce qui donne finalement l'équation ^,

avec l'égalité

On a, d'autre part.

donc l'équation en coordonnées cartésiennes de l'extrémale est

{x — cf -{-y^=a^

c'est une circonférence.

IVouvelles conditions nécessaires clans le cas où Ses points extrêmes des courbes cliercliées ne sont plus fixes.

63S. Jusqu'à présent nous avons toujours supposé fixes les extrémités des courbes cherchées, et le chemin de l'intégration

entièrement arbitraire. Supposons maintenant que les extrémités du chemin d'intégration ne soient plus fixes, mais seulement soumises à certaines conditions. Parexemplesi^o, ?/o sont les valeurs des coordonnées x, y qui correspondent à X =^ X^' x^, ?/i celles qui correspondent à X = X^, supposons qu'on ait entre ces quatre quantités des relations telles que

9i {^^^ ^0' ^1' lU) ===0 (^' < 4)- (^^*)

Ilest clair qu'avant tout les courbes cherchées devront être des extrémales ; un exemple simple le fera comprendre. Le plus court chemin entre deux points inconnus et soumis à certaines conditions sera toujours une ligne droite ; les conditions accessoires serviront seulement à fixer la position de la droite. De même, en général, si la courbe f{x, ?/) = 0 est une solution du problème, entre les points extrêmes de l'arc de cette courbe cet arc devra être extrémal ; sans quoi, on pourrait entre ces deux points le remplacer par un arc d'extrémale.

Nous ne sommes plus ici absolument maîtres des variations parce que, aux extrémités du champ d'intégration, il faudra satisfaire aux conditions nécessaires qui résultent de (44) c'està-dire aux équations (44) et à

les équations (45) peuvent s'écrire, en se limitant aux variations premières,

Ig, = ^ Zx, -h ^ oyo + ^^' Zx, -H ^-^ 8y, = 0. (46)

Nous choisirons les valeurs suivantes, Xg et X3 étant deux valeurs de X comprises entre les valeurs extrêmes X^ et X^. Entre X^ et Xg, nous prendrons

ô^ ^ s.;„ \y^^^ ) •. °i/ = ^yo ^"7=^; j

qui conservent un signe constant sur l'arc A et qui de plus se

Calcul ikfisitésimal 50

réduisent à ^œ-^, Sy^ pour X = l^ ; entre X^ et Xg, nous supposerons

., ^x = Oy = 0

et enfin entre X3 et Xj nous poserons

. /X — XgV . , /X — X3V

0^ = ^o^'. IxT^if j ' ^y = °2/, (x;Trf3 j '

de sorte que la courbe variée sera très voisine de l'arc A et de plus satisfera aux conditions aux limites : elle est de celles vis-à-vis desquelles l'arc A doit fournir un extremum. La variation de l'intégrale est toujours donnée par l'identité (23)

(Ph: -h Qoy) dl.

L'arc A devant être une portion d'extrémale, on devra toujours avoir, comme d'ailleurs on le voit en adoptant les valeurs cidessus données pour les variations {*),

Mais il faudra de plus^ pour que SJ^^ soit nulle, que l'on ait [F'^,]^ 8a;, + [¥\^]^ 82/, - [F'^.]^ 8a^o - [F'^^.]^ 8y„ = 0. (47)

Dans l'équation précédente les indices indiquent qu'il faut remplacer, dans les dérivées FV, FV, les variables iv, y, x', y', par x^, 2/1, x\, y\, pour celles qui ont l'indice 1 et par ^0» ?/o» ^'o> y'o pour celles qui ont l'indice ^eVo. Des équations

(*) On. pourrait se demander s'il rie serait pas possible d'annuler 8J01 en compensant la partie intégrée par l'autre ; mais le signe de la partie non intégrée étant arbitraire, cette partie ne pourra être dans tous les cas égale et de signe contraire à l'autre. Elle devra donc être nulle séparément.

(46), on tirera i des variations Sa;^, Sy^, ^cc^, y ^ pour les porter dans (47) et l'on annulera les coefficients des variations qui auront subsisté. On aura ainsi de nouvelles conditions nécessaires.

Supposons par exemple qu'il y ait deux relations de la l'orme (44

9, (^o> 2/0) = 0 9i {^u Vi) = U

Les relations (46) s'écriront

-^ oxi -h- -^ o?y = 0

«n portant dans (47) les valeurs de ^x^, ^x^ tire'es des égalités précédentes, et égalant à zéro les coefficients de 0^,^ et de 8^^, on obtient les proportions

Ces équations jointes aux équations (48) détermineront les |)oints £»(), î/o, ojj, 2/1 où aboutiront les extrémales. On peut encore, si l'on veut, remplacer les équations (30) par les suivantes

[FV] ox, 4- [F] 8y, = 0 )

auxquelles il faut alors adjoindre les équations (49).

033, Reprenons quelques-uns des exemples déjà traités. Nous avons vu au n^ 618 que les plus courts chemins entre deux points étaient des droites. Si les points extrêmes doivent

être sur deux courbes données, on aura en chacun de ces^ points

c'est-à-dire, à cause des valeurs de F',r', F',^',

cc'ox H- y'oy = 0 OU .

l-4-pî?/ = 0. ' (52)

C'est la condition d'orthogonalité connue; ainsi le plu& court chemin entre deux courbes se compte sur une normale commune. De même si l'un des points œ^, y^ est fixe, la plus courte distance de ce point à une courbe se compte sur une normale à la courbe issue de ce point. Remarquons, en passant, que nous avons seulement exprimé que la distance des deux points était extremum : l'on sait, en effet, que les normales issues d'un point aune courbe peuvent être des chemins maximum ou minimum.

Le deuxième exemple donnerait lieu à des remarques analogues ; la chaînette, qui est l'extrémale cherchée, doit être normale aux courbes qui la limitent.

634. Théorème sur les lignes géodésiques. — Soit l'arc de- (/éo désigne

J = / v/Eti'2 , 2 Fu'v' -f- Gv'^dl ;

'Ka

sa variation, si les extrémités M^ et Mj décrivent deux éléments de courbes quelconques MqNo et MjN^, aura pour expression (23)

gj UEu' -4- Fv')ou -f- (F^^' H- Gv') S^"j^' ,

Or, si l'on considère les deux droites

dx

dy

dz

oy

le

cosinus

de leui

[■ angle aura pour

expression

dx^x

+ dyoy -t- dzoz

dsos ou, en remplaçant dx par

— du -\ dv,

de même dy, dz, qx, oy, oz par des développements analogues,

, , . . {Edu -+- Fdv) ou -+- (Fdu H- Gdv)^v

cos (rts, ùs) ^ ^^^

La variation de l'arc de géodésique peut donc s'écrire

3J z= \h cos {ds, ùs)] ^ = MoNq cos {ds^, os^) -\- M^N^ cos (ds^, 8si).

C'est la généralisation d'une formule connue (I, n° 449). A l'aide de l'expression de 8J en ou, ov, on vérifierait aisément que J est une solution de l'équation (43) (n° 629).

635. Formule de Tait et ïhomsom. — Les mêmes considérations permettent d'interpréter la variation d'une des intégrales définies au n° 626, ou plus exactement la partie principale de l'accroissement de cette intégrale lorsqu'on remplace la courbe extrémale par une courbe infiniment voisine. A cet «ffet reprenons la formule (23) étendue à trois variables ; comme la courbe (G) d'où l'on part est, par hypothèse, une €xtrémale, l'intégrale est nulle et l'on a

6J =, [FV ^x + FV Sy -+- F',' ^zf'

V dx ^ dij 5j dz ^~\ ^

790 CHAPITRE XVll

Désignons par © (Mo), ? (Mj) les valeurs de <? (x, y, z) aux limites et soient No, Ni les extrémités de la courbe (r) infiniment voisine de (C) ; soient enfin Mo To et M^ T, les tangentes à l'extrémale (G) en Mo et Mj. On aura

i ds ds -^ ds J^^

Lofs ds ^ ds J^^

= — M^Ni cos ïJÏA

FiG. oO

et enfin

oj = MqNo (f (Mo) cos T^lX — M^Nj cf (Mj) cos I^ÏX

Telle est la formule que nous voulions obtenir.

Dans le cas particulier où <f = 1, on retrouve la formule du n° 449 tome 1"^^ si la courbe (C) est une ligne droite, et celle du' numéro précédent, si la courbe (G) est une géodésique tracée sur une surface.

636. Les applications de la formule précédente sont nombreuses. Gherchons par exemple les extrémales, définies par les formules (42), qui vont d'une surface donnée à une autre surface donnée. Soit encore Mo et Mi les extrémités de l'extrémale cherchée; faisons varier seulement le point M,. On aura

SJ = — M^Nj cos ïjî^";

et, puisque ôj doit être nulle,

cos tJï^i == 0.

Ainsi l'extrémale inconnue doit être normale à la deuxième surface ; on verrait de même qu'elle doit être normale à la première.

Par exemple les brachistochrones, correspondant à une fonction de forces donnée U (n" 627, remarque) et à une valeur donnée de la constante h, qui vont d'une surface à une autre sont normales aux deux surfaces.

637. Nous avons suppose' jusqu'à présent que la quantité F, qui figure sous le signe /, est indépendante des limites et qu'il est toujours possible de trouver un paramètre qui prenne les mêmes valeurs aux limites sur toutes les courbes variées. Il n'en est pas toujours ainsi ; par exemple dans le problème de la brachistochrone (n^ 627), si les extrémite's ne sont plus données, mais seulement assujetties à se trouver sur des courbes données, la vitesse sera donnée en un point quelconque par la formule

l'axe des y est toujours une verticale (dirigée cette fois vers le bas), et la quantité F contiendra y^ et, en outre, t\ qui peut être supposée une fonction donnée de X(^ et de z/o»

Avant de voir ce qu'il convient de faire dans ce cas, montrons qu'on peut toujours supposer les limites de l'intégrale fixes. Si l'on a en effet

J= / f{ûo,y,...)d'k, il suffira de poser

pour transformer cette intégrale dans la suivante

792 CHAPITRE XVll

et ici les variables doivent être considérées comme dépendant de t et des constantes Xj, >^o'

Plaçons-nous donc dans celte hypothèse et soit

i= j Fdl= j F [oo, y, x',ij',x^,y^,x^,y,), dl l'intégrale à rendre extremum. On aura

F (^ + ^x, y -\-^y, x' -h Sa:', ... ?/i + ^yi) dl.

Choisissons d'abord un système de variations qui laissent fixes les extrémités de la courbe C ; il faut traiter cc^, y^, x^, y^ comme 'des constantes. L'équation des extrémales (P == 0, Q = 0) donne alors, en se reportant à la formule (23), l'identité

(F^ ^x + F y ly -^ F',, ox' -h F' y. 8t/') dl = [F',- Ix + F'^^- hj]l'-,

il en résulte pour la partie principale de AJ, si Ton choisit les variations ox, oy comme au n° 632,

c'est cette variation qui devra être nulle en vertu des égalités (46). D'où l'équation

F\^^d\-i-\..-^oy, / F'y^^X.(53)