Appliquons ces considérations à la brachistochrone

vf^

Soit d'abord v^ = 0. On aura

v^ = 2g{y — y,) d'où ^ • ■= .

ds

dt =

v/2^ (2/ - Vo) Nous avons donc à rendre extremum l'intégrale

j= / ^-^l^£di.

D'abord la courbe cherchée, devant être une extrémale, sera une cycloïde ; les formules (49) et (53) nous apprendront seulement comment la brachistochrone aboutit aux courbes qui la limitent. On doit avoir simultanément

- e-^ ox, H ^ 0?/. = 0

d \Iog'^

/ dy, sji^j - y^)