C-' AQ
Choisissons d'abord un système de variations tel que
l'équation (34) devient
x\ Ix, + 2/'j ô^, = 0, (55)
c'est-à-dire que la brachistochrone aboutit normalement à la courbe d'arrivée (condition nécessaire).
;94 CHAPITRE XVll
Si maintenant les variations o^Tq, h/^ ne sont pas nulles, nous allons transformer l'équation (54). Remarquons que l'une des équations de l'extrémale
donne
et aussi
De même
Y'd\ = dF',,
F'yd\ = d¥\j:
En portant cette dernière expression sous le signe / dans (54) , cette équation devient, en intégrant et tenant compte de (56),
[x' ox -H ?/' ô^/n^i r y' ~i^i
ou
OU enQn, ^ cause de la condition déjà écrite (55),
Au point de départ sur la courbe g^ (x, y) = 0 la tangente à cette courbe est donc perpendiculaire sur la tangente à la brachistochrone au point d'arrivée.
639. On aurait pu encore ne pas supposer la vitesse initiale nulle^ mais supposer par exemple,
vl — ^gvr Dans ce cas, l'extrémale est normale aux deux courbes qui la
limitent ; on retombe en effet sur le cas où l'expression à intégrer est indépendante des limites, cas que nous avons étudié géométriquement (n° 635).
Cas où une intégrale conserve une valeur donnée le long' du chemin qui doit rendre une autre intégrale extreniuni.
640. Le problème nouveau à traiter est le suivant. Il s'agit de rendre extremum l'intégrale
F (^, y, x', ij) âX sous la condition que l'intégrale
G [x, y, X', y') dl (57)
ait une valeur constante. Le type de ces problèmes, qu'on peut di^^û^v problèmes isopérimétriques, est celui qui consiste à enfermer sous une ligne convexe fermée une aire maximum ; il faut dans ce cas rendre maximum l'intégrale
ij ds cos (N, tj), ■■«
sachant que la ligne courbe a une longueur donnée
ds= l.
796 CHAPITRE XVlï
Nous supposerons expressément que Textremum absolu de J ne peut pas être atteint, sans quoi le problème ne se poserait pas.
On peut calculer la variation de K comme on a calculé celle de J ; introduisons alors des quantités analogues à P et à Q (22), savoir
rlC fie
la variation première de K s'écrira
= [GV 5^ + G'y Sy]5;^ 4- / (S 3^ + QS^/) dl. (59)
Cela posé considérons toujours un arc A partagé en trois sections correspondantes aux valeurs de X, ^o < ^2 < ^3 < ^1 '■> supposons que l'on ait entre X^^ et 1^
entre X^ et Xg " '
OX = OlJ z= Oj
et entre l^ et À^
