VA
On aura, en supposant fixes les extrémités du chemin d'intégration,
/^''2 /^^2 /-»^l ri^i
ôj = £ / PAdl-{-r^ j QAc^X + e' / PA'c^X+V / QAm. *y\ ^\ ^h ^\
Les quantités A, A restant positives, on peut appliquer le
* théorème de la moyenne, et, en désignant parP,„, Q„„ Pp., Q.i. des valeurs moyennes dans les intervalles correspondants, écrire
/Xj ^y^.;, /^^4 /^''l
On aura de même
AcA + 'oT„^ / Ac^X-he'S,, / 7VcA + r]'T,, / A'cA.
Les quatre intégrales qui figurent dans ces deux variations étant essentiellement positives, 8K et oj ne peuvent s'annuler pour des valeurs simultanées des arbitraires. s, ï], t', -q' que si l'on a
q— — *-- — -q- — TfT • V""7
ni ni [JL IX
Supposons maintenant que a^ tende vers l^ et Àg vers Xj, on aura
Mm P,jj = Pq, 11m Ojj^ = Qq, lim S,,^ == Sq, lim T,,i = Tq lim P,, = P^, lim Q,, = Qi, lim S,, = S^, lim T,^ = T^,
et les égalités (60) se transforment dans les suivantes
£o y 0 M y^i ffi n
Introduisons maintenant la nouvelle hypothèse que la courbe
(G) ne soit extrémale séparément ni pour l'intégrale J, ni pour
* l'intégrale K. Alors on n'aura pas en tous les points de l'arc (A)
supposons, par exemple, qu'au point X^ une des quantités P et Q
soit différente de zéro, Qj par exemple. Nous pourrons tirer des égalités (61) S^ et Tq et écrire
d'ailleurs 1\ ne peut être nulle, sans quoi So et Tq seraient nulles et l'arc A sera extrémal pour K, ce qui est contraires rhypothèse. 11 existe donc une constante a.
Qi
indépendante du point initial X^, différente de zéro, et telle que l'on ait identiquement
Le point initial pouvant être pris arbitrairement sur l'arc A considéré, la courbe dont cet arc fait partie doit donc satisfaire aux équations différentielles
F'. - rx F'.' + « (c. - é <"''
y di y
{""'y-Ti^'y)-^) Posons
H = F -h aG;
les équations précédentes s'écrivent
H', - ^,- H',. = 0, HV - Ij; HV = 0, (63)
Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant : les courbes qui retident extremum V intégrale J sous la condition cjue rintégraleli. conserve une valeur constante sont les extrémales de r intégrale J -h «K, « étant une constante ciui nest ni nulle ni infinie.
La symétrie des formules montre que les mêmes équations
feraient connaître l'extremum de K, dans le cas où, K étant variable, J conserverait une valeur constante. Le môme fait se rencontre dès les théories les plus élémentaires ; il suffit de se rappeler les deux théorèmes corrélatifs qui concernent l'extremum du produit (ou de la somme) de deux nombres lorsque la somme (ou le produit) de ces deux nombres conserve une valeur donnée.
Rappelons une dernière fois que l'extremum relatif étudié dans cette section est, par hypothèse, essentiellement distinct de l'extremum absolu de J. Nous appellerons la courbe qui fournit cet extremum relatif une courbe relativement extrémule.
($41. Exemple. — Reprenons l'exemple traité au n° 630. Il s'agit de rendre extremum
sachant que
La première équation (63) donne ici
En prenant y comme variable indépendante, l'intégration est immédiate ; on a en effet
d'où
et enQn
[x — hf -\- (y — ay = a-.
Les courbes cherchées sont des ch'conférences.
642. Si les limites de l'intégration ne sont plus fixes comme nous l'avions supposé, mais si les points extrêmes vérifient des relations telles que
gi C^o' 2/0' ^n 2/i) = 0 («■ < ^)' (64*)
une analyse analogue à celle du n» 632 permet encore d'obtenir les conditions aux limites,, les seules qui restent à obtenir ; il est clair en effet que les courbes cherchées doivent avant tout satisfaire aux conditions (63). L'accroissement de K lorsqu'on passe à la courbe variée est, sous la réserve que l'on part d'une courbe relativement extrémale,
AK = [G',,: ox + G\y 8.y]^^ + / (S 8^ -h T hj) dl
-h [ox, hj, ox', Vis.
en se conformant aux notations du n° 616. Choisissons pour
les variations les valeurs suivantes :
sur l'arc X^ l^, , •
■ orj = Q-fErrJ '^^^/o' -^ ' (^^ ~ ^y (^ - ^«^''
sur l'arc l^ -^s» ' "
ox = olj ^= 0,
et sur l'arc >3 1^
on aura
+ fe, 8a?o, 8yo, ^x^, SyJ^.
Il résulte de là qu'on ne pourra avoir
