AK

qu'en prenant pour s une série du type [occ^, Sy^, Sa7^, Sz/J^ puisqu'on peut choisir l'intervalle de manière que Ty conserve un signe constant. L'égalité (65) entraine aussi la suivante

AJ = A (J -+- aK) ;

d'autre part, comme nous supposons la courbe considérée relativement extrémale,

AJ = [H'^. ^x -h H'^- ^y]l' ^ l d\ (8^, hj, Zx', 8ij%

Grâce aux variations choisies qui sont continues ainsi que leurs dérivées- premières et secondes, l'intégrale est une série de la forme [}xq, hj^, ox^, Syja et la condition SJ = 0 se réduit à

[HV Sx- + H'^, oVjJ^i = 0, (66)

qui doit être compatible avec les conditions déduites de (64), c'est-à-dire avec

ôa^o " ^2/0 ^«'i ^2/1

643. Septième Exemple. — Trouver la figure d'équilibre d'un fil pesant. Si l'on suppose l'axe des y vertical et dirigé vers

CAlCÏÏIi IKFINITÉSIMAL 51

le bas, l'ordonnée du centre de gravité est donnée par la formule • »

Y = | / yds

dans laquelle / est la longueur du fil ; cette ordonnée doit être maximum. Il faut donc rendre maximum

J = / y six'"" -h y"" âX,

sachant que

K = / \/^'^ H- xp dX :=^l.

L'égalité HV = constante donne ici.

x' oo' y ,- + a -— = a.

Prenons y comme variable indépendante ; nous obtenons l'équation différentielle

ou

dx , ^

L'intégrale s'obtient immédiatement (page 332) :

En ajoutant la valeur de <?'« à celle de son inverse, on trouve l'équation

qui est celle d'une chaînette.

IntroclucUon de dérivées d'ordres supérieurs

644. Nous supposerons maintenant que la quantité qui ligure dans l'intégrale à rendre maximum contient les dérivées des variables x et y jusqu'à l'ordre p:

F {œ, ij, x', y', x", y" ... cg^p), tjW) dl (67)

€t nous n'examinerons encore que les intégrales qui sont indépendantes du choix de la variable sur la courbe variée ; on aura

f Y{x ->r ^x, y -^ oy, ce' -+- ^x' , ... yip) -\- oy(/)) cil, Xo "

d'où .

(termes du 2° ordre).

Pour ramener les intégrales à ne contenir que les variations

des variables ^ et ?/ et noa celles de leurs dérivées, il faut transformer les intégrales du type

Remarquons d'abord que

8„(fc) 8 ^ ^' (y + H ^ ^''°>

On a alors en appliquant la formule d'intégration par parties généralisée (page 351)

y^|La,<..x=y'^^f«|'.x

Posons

B ^= , B , = — -, , ... Bi- = — rr\

et continuons à désigner par des accents les dérivées par rapport à ^ ; la formule précédente s'écrira

\r^ %('^) dl = [b, hj (''■ - 1) — B', oy C^— 2) H- . .

La variation de I se mettra donc sous la forme

(Fox-^Qhj)dl, (70)

les lettres ^ 2, indiquant des sommes de termes analogues

au second membre de la formule (69), elles lettres P, Q ayant des significations faciles à trouver. Par exemple, en désignant par des lettres A affectées d'indices les dérivées par rapport à ;r, ^' ..., on a .

P = A — A', + ... + (— l>^ AOO

En raisonnant comme au n° 621, on trouvera encore, pour que I soit extremum, les conditions nécessaires

645. Nous n'insisterons pas davantage sur la théorie générale qui ne présente plus de difficultés sérieuses ; c'est ainsi que les conditions de la nature des équations (44) devront être différentiées par rapport au signe S un nombre de fois suffisant pour introduire les variations de l'ordre le plus élevé rencontrées dans le problème. C'est ainsi encore que, si l'on a une condition de la forme

K== I G [x, ce' ... œi"), y, y' ... yi"")) dt = constante ;

il suiPira d'exprimer que l'intégrale I -+- aK est un extremum, a étant une constante essentiellement différente de zéro. Nous nous bornerons à un exemple.

646. Huitième exemple. — Trouver la courbe pour laquelle €aire comprise entre un arc de cette courbe, les normales aux extrémités de Varc, et V arc de la développée compris entre les deux normales sont un minimum.

Nous prendrons, comme aire élémentaire, l'aire comprise entre deux normales infiniment voisines et l'arc qui joint leurs

pieds; celte aire a pour partie principale o çds ou, en rempla-

çant le rayon de courbure par sa valeur en fonction de l'arc et

2 diM'

1 ds"^ de l'angle de contingence c^w, s -r-, c'est-à-dire

2 ' "doi ~"2 , , %J ~1oo'%J'—i,'og"^'

d. arc tang '^, j j

L'intégrale à rendre minimum est donc On a ici

— / x' tf — y' x" '

et

Transformons directement ces diverses intégrales :

^x' bx ! d^ bx

dF^ dl

Sy —Ml dl

F': ^x" dl = W. F' . - 4 F'v. 8^ -h / ■^^' Sa; c^X

Jf',. s/ .a =S,'. FV - I,- F',,. S, ^y'^^^- ^^^^. Si l'on choisit d'abord les variations qui laissent les coor-

données des extrémités de l'arc (A) et leurs dérivées invariables, on voit que ôl se réduira à

ûf^F' " dF'>

dl'

ca

'-S^-'-^VvLx

et l'on aura, pour l'annuler, les conditions

dl"" dl ~

d^F'., dF'^^^^

dl'

dX

qui s'intègrent une première fois

~df-^'^'--- ,

di y

Or on a

»" ~ {x' tf — y' x"f ' 2/"~ {x'y" — î/'a?'7 '

On en déduit aisément l'identité

dF',., ^,dF\j.

d'autre part F étant homogène et du second degré par rapport aux lettres x', ij, œ", y" ^ on a, en vertu de l'identité d'Euler,

^' FV H- y' F'y -+- ^" FV + / F'^,.- = 2F

et en retranchant l'identité précédente et tenant compte de ce que l'on a aussi

a;"FV + /F'^. = -F.

~d\j '^y' \- y dT

dF'A ( dF'\

808 CHAPITRE xvir

c'est-à-dire enfin, à cause des équations (72)^

ax' -h hy' = 2F. (75)'

Prenons s comme variable indépendante et posons

, dan , dii

X = -y- = cos 0) , II' = -;- = sin w. as -^ as

Comme on a par définition, ' doi étant évidemment égal à l'angle de contingence

l'équation (75) devient

ds

a cos w + 5 sin w = ,

s — s„ r:= & COS w — a sin oi =r • sin (a — w) :^ A sin (w — a),

OU, en intégrant, en posant

b == a tang a , A = —

COS a

Faisons tourner les axes d'un angle a ; la formule précédente devient

s — Sq = A sin ff ,

«P désignant l'angle que fait la tangente avec le nouvel axe des x. Les nouveaux cosinus directeurs de cette tangente sont

doo dy

On en déduit

dx = A COS^ CD r=r -^ (1 4- COS 2'f)

dy = A sin «p cos «p = -a sin 2cp,

d'où

CG — ^0=^ f (2cp -i- sin 2co)

y — ^0 = 4 (1 — cos2(f).

On reconnaît les équations de la cycloïde.

647. Il n'est pas inutile de remarquer que la théorie générale fournit des identités analogues aux identités (73) et (74). Cela résulte de ce que nous ne considérons que des intégrales indépendantes du choix de la variable, c'est-à-dire

„ / dx du d^x dPy\ ,. t-. / dx di'7/\ ,

Nous avons déjà posé (n"' 643)

^ — ^ ~ 'dî ^ 'WJ -•• ~^ ^~ ^^ 'dW

0 — B — ^H-^^ +r iv^-^^

^""^ dl ^ dl' ••■ ^^ -^ c^Xi^ •

Le calcul, que nous avons seulement indiqué au même numéro, amènerait à poser aussi

fp — Ap — ^^(^^, , Up — Dp — ^y^^,^ ,

P A dAij^ j ^ p. ^l^t + i

Po = P, Qo = Q- L'on démontre alors les identités suivantes

Px' -\-Qij' = 0

Pp^'-4- Qp^j' = 0

F = p,^' + Q^y 4- P^a^" -h Q,y" -f- ... -h Ppxip) + Q,,3/00.

810 CHAPITRE XVll

Principe de la iiioindre action

648. Neuvième exemple. — Nous traiterons encore, vu son importance en mécanique, une application où figurent plus de trois variables ainsi que leurs dérivées premières.

Le principe de la moindre action exprime une propriété du mouvement d'un système de points matériels indépendante du temps ; les points peuvent d'ailleurs être soumis à des liaisons pourvu que ces liaisons ne varient pas avec le temps. Les forces sont supposées dériver d'une fonction U dans laquelle le temps ne figure pas explicitement. La position du système dépend de k paramètres géométriques indépendants ^j, q^y ... qk, c'est à-dire que les coordonnées de chaque point s'expriment par des fonctions de ces paramètres ne contenant pas le temps. Posons

doi"^ = ^ m {dx^ -+- di/ -h dz^) ;

c?w2 sera une forme quadratique des différentielles dqi telle qufr

ofw^ = ^ «ift dqi dqit.

Pour amener le système donné d'une position initiale P^ à une position finale Pj, il suffit de concevoir que q^, q^, ... sont des fonctions continues d'un paramètre X^ fonctions qui prennent pour 1^=\^ et pour X = X^ les valeurs des paramètres 2'j, q^ ... par lesquelles sont déterminées les positions Pq et P^ du système. 11 y a évidemment une infinité de systèmes de fonctions, et par suite de déplacements qui permettent d'amener le système de Pq en Pj. Appelons généralement qi^x la dérivée de Çi par rapport à un paramètre ;^ ; pour un déplacement déterminé, les coordonnées deviennent des fonctions de X et l'on a

la fonction 0 étant définie par l'égalité précédente. Introduisons maintenant l'intégrale

A= / \/2@\/2{\] ^ h)dl

que nous appellerons V action entre P» et Pj : h est une constante donnée.

Le principe de la moindre action s'énonce ainsi : le déplacement pouï^ lequel l'action qu'on vient de définir est minimum, est compris parmi les mouvements naturels que prend le système matériel lorsqu^on imprime aux différents points des vitesses telles que le système passe de la position P,, à la position Pj et que la constante des forces vives soit égale à h.

Cherchons en effet le minimum de A ; en désignant par F la quantité sous le signe /, nous aurons à vérifier les k conditions

c'est-à-dire

\/2Q dU \/2U-+-2A^?'

cl /v/2U + 2/i ôer

Prenons comme nouvelle variable la variable t définie par l'équation

on aura d'abord

'ii-K = 9',

dt-

puis, en posant

= 2j ^ik 9it (Ikt:

00 Mi ~

ôT (dty

- Mi \dl) '

ô0 Mi\

__ ôT dt Mit d\

812 CHAPITRE XVll

de sorte que les équations de conditions nécessaires à l'extremum de A deviennent

On reconnaît les équations du mouvement sous la forme

que leur a donnée Lagrange. De plus en remplaçant, dans (77),

dt ■

-7^ par sa valeur tirée de (76), on trouve

ce qui est bien l'intégrale des forces vives correspondante à la valeur h de la constante.

Ainsi les trajectoires naturelles, fournies par les équations de Lagrange, s'obtiennent en écrivant que V action a une variation première nulle.

Variation des intégrales multiples

649. Les méthodes précédentes s'étendent aux intégrales multiples. Nous nous bornerons aux intégrales doubles.

Soient x, y, z les coordonnées d'un point M d'une surface (S) exprimées en fonction de deux paramètres u et v. Nous poserons

et nous étudierons la variation d'intégrales de la forme

J = / / F (■^5 2/' ^> ^u, Vu^ ^m ^u, Vv, z^) du dv (76) étendues à tout ou partie de la surface (S). Nous supposerons

en outre que J est indépendant du choix des coordonnées u, v et ne dépend que de la forme de la surface. Ainsi, si l'on exprime œ, y, z en fonction de deux nouvelles coordonnées u, v, on aura par hypothèse

F{œ,y,z,Xu...Zy)dudv =: j j F (x,y,z,Xp...Zq)dpdq S J Js

ou, en bornant l'intégration à un élément de surface et appliquant les formules relatives aux changements de variables dans les intégrales définies (n° 197)

F (œ, y, z, Xu...z,) = F {x, y, z, x, ... z,) '-||-^j. (77)

Par analogie avec les notations relatives aux intégrales simples, nous poserons immédiatement

^ du do j

dF' dV f

dF' dF'

p pi/ Zu £\,

^ du dv

et nous indiquerons, sans démonstration (*) parce que nous ne les utiliserons pas, les identités suivantes

(*) Le principe de la démonstration peut s'indiquer en deux mots. On prend pourp et q les valeurs u -\- e, v -+- tj, s et -q étant des fonctions de w et de î; régulières et petites : puis l'on développe le second membre de l'identité (77) par la formule de Taylor de deux manières 1° en considérant immédiatement ¥ comme fonction de u et de v 2" en commençant par développer x, y, z, Xu ...

650. Cela posé, considérons conjointement avec la surface (S), la surface (S') déprite par le point x -\-ox,y -^ 83/, z -^^z en désignant par tx, hj, ^2 des fonctions de u, v que nous considérerons comme petites. Toute expression / définie sur (S) se transforme en /"-h A/" sur (S'); la partie principalede A/, (c'est-à-dire les ternies du premier ordre dans le développement de Taylor) est la variation première ofàef. Nous aurons en particulier

ô [os H- ^x)

dx -à^x

'dix

et quatre formules pareilles en remplaçant x par y, puis par z,

8F = 2 (^'J^ + 'P'a^J^u-^r^^lx,) (81) œ, y, z

et enfin l'intégrale J subit, lorsqu'on passe de la surface (S) à la surface (S'), un accroissement dont la partie principale est

oJ= / / dudvlY. (82)

Or, si l'on remarque que l'on a l'identité - . L^'^J =: F' Ix^ H- 8^ —^

et d'autres analogues, la formule (82) peut s'écrire

oj = / I dudv (P^x -h Qhj -+- R8^)

du dv i — -\

CALCUL DES VARIATIONS - gjg

en posant

La seconde intégrale de la formule (83) se transforme à l'aide de la formule 35'''' (n° 209) en une intégrale curviligne étendue à la courbe C qui limite la portion de surface considérée

dtt dv r^^--i-~] = — / [Udv — Ydu).

651. Nous sommes maintenant en mesure d'établir des conditions auxquelles satisfera nécessairement toute surface qui rend J extremum. En effet on pourra choisir un système de variations qui s'annulent sur le contour C et qui conservent au premier terme de 8J un signe constant ; 8j devant s'annuler, on aura nécessairement

P = 0 ou F' —-' — --r^ = 0

^ clic dv

clF\, d¥\,

R = 0 ou F,^^.-'!^=0.

^ du dv

Deux de ces équations entraînent la troisième. Nous appellerons encore e57/rema/e de l'intégrale J toute surface définie par les trois équations précédentes.

65!2. L'analogie avec les extréma des intégrales simples se poursuit plus loin. Supposons que les inconnues soient soumises à la condition que l'intégrale

'= Il

* [^, y. ^. Xu-, lia-, Za, X^, ]j^, Z-,) du dv,

dans laquelle * est une fonction connue, ait une valeur donnée. Une analyse calquée sur celle que nous avons exposée au n° 637 montrera que le problème revient à rendre extremum l'intégrale J 4- «K, a étant une constante finie et différente de zéro.

653. Dixième exemple. Trouver les surfaces minima qui passent par une courbe donnée.

L'élément linéaire étant défini dans les notations de Gauss par

ds^ = Edu^ ■+2Fdudv -h Gdv^,

nous avons vu (n° 228) que l'aire a pour expression

J = / / KEG — F2 du dv= / V A2 -i- B^ + C2 du du,

les lettres A, B, G ayant les significations données au tome I (n° 473). Les cosinus directeurs de la normale en M à la surface ont d'ailleurs pour expression

Appliquons les formules du numéro précédent pour obtenir Textremum de J : comme

F = /A^ -+- B^ H- es on voit qu'on aura

F'^^^ = y^Z-z,Y, F\^^=z,X-cv^Z, F',, = ^, Y - y, X F'^" = 2/mZ — ^M^' F'^„ = ^M X — û7m Z, F'z.=^CGuY — yu^-

Ces valeurs, portées dans les équations (84), donnent immédiatement trois conditions dont nous n'écrirons que la première

- P = 2/. Z« - ^v Y^. - {Vu \ - ^u Y.) =0.

ôir ôir ôir

ÙUOV ÔWÔU Ô2<ÔU

Multiplions cette équation par X, les deux autres respectivement par Y et par Z, pui» ajoutons membre à membre ; il vient

PX 4- QY + RZ = 0. (85)

Posons enfin, avec Gauss,

les troisièmes membres résultant des identités

Xxu -h Yiju H- Z^„ = 0 ^ . XoJu H- Yî/t, H- Z^-y = 0

différentiées successivement par rapport èi ^^ et av. Avec ces notations, l'équation (85) pourra s'écrire