R " R'~ EG — F

Donc les surfaces à étendue minima ont leur courbure moyenne nulle. Ce théorème est dû à Monge.

Si l'on prend pour variables x Qi ij et que p, q^ r, s, t dési-

CaLCUL inFINITÉSIMAL 52

gnent les dérivées premières et secondes de z, l'équation (86) prend la forme simple (tome l®'^, n° 481)

(1 -+- 1)2) f 2pqs -h (1 -t- q^) r = 0.

L'intégration introduira deux fonctions arbitraires qu'on déterminera en exprimant que la surface passe par la courJDe donnée.

655. Si la surface cherchée doit enfermer un volume donné V, la courbe précédente sera réduite à zéro et l'on aura de plus

D'après ce qui a été dit au numéro 651, il faudra alors chercher l'extremum de l'intégrale

J -h aK

ce qui donne immédiatement, à cause de la dernière équation (84),

656. L'équation des surfaces minima a été intégrée par Monge. Vu son importance dans la théorie de la capillarité, nous allons l'intégrer ; la première méthode rigoureuse a été donnée par Legendre qui y a appliqué sa célèbre transformation (I, n° 115)

X=p , Y = q , Z = .xX^-yY — z;

il obtient ainsi l'équation

(1 -H X^) g + 2 XY jI^Y + (• + Y=) '-^^ = "

qu'on intègre en commençant par la différencier par rapport à X. Si l'on remarque que

ô^ Z ô ôZ i>x g)^Z ^ t

• SX2 — ^ iX " ôX ' SX^ — ôY '

l'équation obtenue s'écrira

(1 +X')^+2XY^-|^H-(H- Y')î^+ 2 X?|+2YÎ| =0 (87)

et l'on obtiendrait le même résultat en différentiant par rapport à Y.

Nous appliquerons à cette équation la méthode du n° o81. On a ici