On a évidemment

le coetficient différentiel sm"'a: dx diminuant lorsque m augmente. On déduit de là

Or le dernier rapport tend vers l'unité, en vertu de l'égalité (16), lorsque k croît à l'infini. Donc

Remplaçons, dans cette égalité, A,,, et A^/^+i par leurs valeurs tirées de (18) et de (19); nous obtenons la nouvelle égalité

^^l,tk-h\2k—\2k—{2k—-^'-'ri'7z ' d'où l'on tire

n = co

Tt 2 2 4 4

i=M-i-s-=nk^r(2»-') (2«)

Celte formule, connue sous le nom de formule de Wallis, donne le nombre tt sous forme de produit infini. Wallis l'avait découverte avant l'invention du calcul intégral.

Deuxième méthode pour le calcul de / e-'''dx.

80. C'est encore par une formule de réductions successives que nous obtiendrons celte célèbre intégrale sur laquelle nous avons déjà appelé l'attention du lecteur (n° 69).

Considérons l'intégrale définie.

. / dx

L'égalité (19) du chapitre 1 donne immédiatement la formule de récurrence

qui est applicable pour toutes les valeurs de m supérieures à l'unité. Or

dx a- -H X '0

1 r . .^1°° 1 Tt

r, = - arc lang - I = - ^î

on a donc, en donnant à m dans la formule de récurrence les valeurs 2, 3... m :

1 ^ 5 2m — 3 J__ TT '" ~" 2 • 4 • G • ■ ■ 2m — 2 a""-' 2 "

Posons maintenant

z , dz ^

s/in sm

DES INTEGRALES DEFINIES lOo

la formule précédente devient

l'- * dz 1.3.5...(2;?î — 3) y/w- tc

Faisons a = 1 et supposons que m croisse à rinfmi, celte égalité devient

2 7 Ti ,. 1.3. 3. ..2m — 3 /—

ou en écrivant m + 1 au lieu de m

2 , TT^ 1- 1.3.5...2w — 1 e — =û(^r=:^ hm — — ^— - — -r

ou enfin, en tenant compte de la formule de Wallis et remettant ^ àla place de z :

■■^''dx=\^^. (21)

Transcendance du nombre e et du nonibre tt

81. C'est à l'aide des intégrales définies que M. Hermilc a réussi à démontrer que le nombre e ne peut pas être algébrique ; en d'autres termes on ne peut pas avoir une équation de la forme

dans laquelle c,, sont les coeflicients entiers.

Faisons une remarque préliminaire : l'intégration par parties donne immédiatement, en répétant X fois l'opération.

Cela posé, introduisons avec M. Hilbert, qui a perfectionné la méthode d'Hermite, le polynôme P défmi par l'égalité

p xi'-\x — iY{x — 2y' ...{x — m)i'

p étant un entier arbitraire et soit

3 = j Pe — ^dx.

Nous allons choisir p de manière que l'équation (22), ou plutôt l'équation

soit impossible. Pour cela nous l'écrirons

ik ^j^ , .IX)

V c,e''- / Fe--dx-i-^c,e'^ 1 Pe-'dx^O (24)

/ J o/,» . LO u.,o -T- y ^

et nous montrerons que, pour des valeurs suffisamment grandes de p, le premier terme de cette équation est une fraction inférieure à l'unité, tandis que le second est un entier non îiul. Ces deux termes ne pourront donc se détruire. Considérons la première somme ; son module est inférieur

DES INTEGRALES DEFINIES lOÎ

à la somme des modules de ses termes ; un terme a pour module

Les facteurs qui composent le numérateur de P ont tous un module inférieur à m^'; &-'' est inférieur à l'unité dans le champ de l'intégration. On a donc

k e-I P 1 dx<\ c, I e^' j^~-^.

Faisons la somme des inégalités déduites de la précédente en y remplaçant k par 1, 2, 3... m, inégalités qui seront vérifiées a fortiori si l'on écrit e'" au lieu de é' et m au lieu de k ; nous obtiendrons enfin l'inégalité

Nous poserons encore

e'"i7i'» + ^^ 1 C/, I = b de manière à donner au second membre la forme simple

Le second facteur seul dépend de p et l'on sait (I. 246) qu'il tend vers zéro pour/? infini : donc, quels que soient b et a, on est assuré de pouvoir rendre cette expression fractionnaire.

Considérons maintenant le second terme de l'équation (24).

Le numérateur de P ordonné suivant les puissances ascendantes de X s'écrira,

(— l)"'-''(m !)^'X'-' - ' H- k^xv H-.,.

les coefficients A^ étant entiers. Multipliant chaque terme p!ar e-^^y divisant par {p — 1) ! et intégrant, nous trouvons pour valeur de cj, à cause de la remarque préliminaire (form. 23),

CoJ = (— \Y\m^^^v -H mult. de p.

Remplaçons maintenant dans le terme général de la seconde somme x par x -\- k

♦oo

Ve-''dœ

co

^e-^ f (-r H- /^ - {y-\x + k)P... xK.. {x-\-l — m)P ^,,^^^

En opérant comme précédemment on voit que cette intégrale sera un entier divisible parp ; il en sera donc de même

de Ci,e'' I Ve-'âx. La seconde somme de l'équation (24) est

donc de la forme (— l)'"i'Co{?n .'y -+- mult. de p, et il est évident qu'on peut choisir/? de manière que Co{m!y ne soit paS divisible par p, c'est-à-dire de manière que la somme soit un entier non nul. Le théorème est donc démontré.

82. Supposons maintenant que tt soit un nombre algébrique et que a^ = iiz satisfasse à une équation de degré n^ à coefficients entiers, dont nous désignerons les autres racines par «2... a„. Comme 1 -i- e*i = 0, le produit

DES INTEGRALES DEFINIES 109

dont la valeur est

(i + ,Pi + ...^eP^-)

sera aussi nul. Il résulte de la théorie des fonctions symétriques que les quantités Pj, Po ... Pn, dont quelques unes peuvent être nulles, satisfont aussi à une équation algébrique à coefficients entiers. Cette équation, débarrassée des racines nulles, s'écrira

f{z) = hz''' + h.z^'-"^ 4- ... -h ô^i = 0, avec bb^^ < 0.

Le produit P s'écrira, en groupant les exponentielles à exposants nuls et mettant en évidence les racines de l'équation précédente,

a + e'^ -H 6' - -h ...-!- 6' •« avec a entier Multiplions P par l'intégrale

',^[(j{z)\^ + ^e-^ds. (p entier > 0), '0 «^0

011 l'on a g{z) ^ b^^f{z). On. démontrera d'une manière analogue à celle du n° précédent que le produit P / ^q rieni

Jq

être nul. Il y a donc contradiction : le nombre tz est transcendant.

Ce théorème, démontré pour la première fois par M. Lindemann, établit l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Dérivation sous le signe /

83. Il peut arriver que le coefficient différentiel contienne un paramètre a, et même que ce paramètre figure dans les limites de l'intégrale. Cette intégrale définie devient ainsi une fonction d'à et, comme telle, admet des dérivées par rapporta a. Il s'agit de préciser la manière d'effectuer ces dérivations.

Soit

f{oG,ci.)dœ

€t supposons d'abord a el b indépendantes d'à; nous cirerai chons T-. Donnons à a. l'accroissement Aa, il en résultepour I

un accroissement AI et l'on a

AI

Aa

f{x,'-J. -r ^.'x)dx

f{x , a) dx

OU n° i

Al / /X^,a -h Aa) — f{x,'-j)

Aa

Aa

dx,

OU encore, en appliquant le théorème des accroissements finis,

= / fj^x.ri + eAa)c?A\

Si la fonction f[x^t) a pour toutes les valeurs de .2^ comprises

DES INTEGRALES DEFINIES Hl

entre a et b, et pour toutes les valeurs de t comprises entre a et a H- Aa une dérivée par rapport à t bien déterminée et continue, on pourra poser pour des valeurs de Aa suffisamment petites

R ayant un module inférieur à tout nombre s fixé d'avance. 11 en résulte

La dernière intégrale a im module inférieur à (6 — a)z, et par suite tend vers zéro avec Aa. On a donc à la limite

f{cc,a.)dx= i f^Çv.a)du; (26)

Cette importante formule est connue sous le nom de formule de la dérivation sous le signe j ; elle est dueàLeibnitz.

Dans le cas où une (ou les deux) limite de l'intégrale devient infinie, la démonstration précédente ne subsiste plus ; car le terme [b — «)s se compose d'un facteur qui devient infini, l'autre étant infiniment petit.

Remarquons alors que, p étant quelconque, on a l'identité

d'où

limite j fiK'^i'^ + ÔAac^A") Aa = 0

f'{oc,a.)dx H- lim / /a(^%a + (^\'j)dx. Aa = 0 '

112 CEIAPITRE 11

La première intégrale du deuxième membre a pour limite, par définition, lorsque jo devient infini,

f'{x,'j)dx\

pour qu'il en soit de môme du premier membre, il faut que l'on ait, pour p =00 ,

lim / /-«{x// -h eAa)f^.:>? = 0 (27)

ce sera une vérification à faire dans chaque cas. Sous cette réserve, la formule (26) pourra s'appliquer même si Tune des limites ou si les deux limites deviennent infinies.

84. La formule (26) peut évidemment s'écrire en multipliant les deux membres par d'-j. et en intégrant entre les limites a^ et a

f[x,a.)dx — / f{x,'-x^dx^= I da j f^{x,ci.)dx

OU encore

J^b oa ^b

et enfin

dx j f,^{x,'x.)d'y. = I da j f^{x,a.)dx, ce qui s'énonce ainsi : pour intégrer par rapport à un para-

DES INTÉGRALES DEFINIES 113

mètre arbitraire une intégrale définie qui contient ce paramètre dans le coefficient différentiel, on peut commencer par

faire l'intégration sous le signe J par rapport à ce paramètre.

En d'autres termes, on peut intervertir l'ordre des intégrations. Ce théorème exige que la quantité à intégrer demeure finie et bien déterminée pour toutes les valeurs de ^ et de a comprises dans les limites des intégrations. Si donc les deux membres de la dernière formule, calculés séparément, se trouvent inégaux, on peut affirmer que la fonction à intégrer est devenue infinie ou indéterminée dans le champ de Tintégration.

85. Considérons, par exemple, l'intégrale déterminée au n° 75.

e-''^'dx:=a-ï'^-^. (28)

En dérivant les deux membres par rapport à a, on trouve

^2g — «^ ^^ __ __ tX— 2 TT (29)

Prenons de nouveau les dérivées des deux membres, par rapport à a, et répétons l'opération m — 1 fois ; nous obtenons l'égalité

~.v.2 , 1 3 2m 1 vn+i i/tt ,„„,

,,.2mg-«J72^j. = 2 2 • • • — 2 — ^ ' V (30)

86. Pour justifier l'emploi de la différentiation sur le signe , il faut vérifier que l'équation (27) a bien lieu. Il suffît de remarquer que l'on a,

e - fa + 9 Aa)ie2 ^ ^

^ (a + OAa)-.^^ ' Calcul iNriNiiÉsiMAL q

d'où

(a 4- 6Aa)2 I x^ p ^ p

cette dernière intégrale a pour valeur-. Elle tend donc vers

zéro, ce qui justifie la formule (29). Même raisonnement pour la formule (30).