On pourrait encore effectuer le changement de variables

x=. a -^ {b — a)rj,

qui ramène les limites de l'intégrale à être zéro et im, c'est-àdire indépendantes de «.

DES INTEGRALES DEFINIES iH

Iiitégralioli par les séries

89. Une méthode féconde consiste à développer en série le coeFQcient différentiel ou un des facteurs de ce coefficient.

f(^) = /"oC^) + / l(^) + • • • + fnÇoo) + R„,

R„ ayant pour limite 0 pour ?z = oo . On aura

et l'on pourra faire croître n à l'infini dans cette dernière égalité si

lim / Kndx = 0.

90. Considérons, par exemple, l'intégrale suivante étudiée par Fourier dans la théorie de la chaleur :

1=1 e -■'•-" Q.o'è'lbx dx.

Comme

ai. A (2hxY {2bxY , ,. (2b v]^"'

cos 2bx = 1 - ^-i- + '-^y^ -+-...+ (- 1)- ^4^^ + .

on aura

1= / e-'^dx -y I .x^e-'^'^lx -]-...

ou, en vertu de (30),

Le tel me général qui figure dans le crochet peut s'écrire

on aura donc enfin

e-^^ cos 2bx dx =\e-^'' ^iz. (31)

Mais, pour que la méthode précédente soit applicable, il faudra vérifier que

ri„j CiX ^ '0

a bien pour limite zéro. Or

en désignant par /"^mM- '(Oa?) un sinus ou un cosinus. On a donc

I , (2&^r' + ^ ,2 ^ (2bjj- + Kv'-'n(l + CO') , ' "»^ ' - (2m + 1) ! ^ ■- (2w~n)T ^ •

DES INTÉGRALES DEFINIES 117

Le module de / R,„fl?.2? est inférieur à

qui peut s'écrire

ou encore

^ r 25 h'-'" 2m + 2 &^"' + '- 1 2 L2m + 1 m ! "^ 2ô~^ (m -+- 1) ij'

et enfin

cette quantité tend évidemment vers zéro. L'égalité (31) est donc légitime.