On trouvera de même la valeur da l'intégrale

qui est finie parce que, pour x = i, log ^ et 1 — x sont des infiniment petits de même ordre et que le produit ^^ log x tend vers zéro avec x, quel que soit a positif.

Si X est inférieur à l'unité, on pourra écrire

la dernière fraction tendant vers zéro pour ^ = co . On aura donc

I =: / log a-o^j; ~\- I X log a;c/.a7 H- ... H- / ic" log ocdx + R„, en posant

R„ r=r / -j log X dcG.

Etudions d'abord la quantité

T„ = / jj" log X dx ;

en l'intégrant par parties, on trouve

ï« = 1 log ^ j / ^«0?:^:.

|n-Hl Jq n -\- \ J

Le crochet est nul, et il reste

Pour étudier R„, nous décomposerons le champ de l'intégration en deux parties

DES INTÉGRALES DEFINIES

p étant un nombre fixe aussi voisin de l'unité que l'on voudra, mais inférieur à un. La première intégrale

/ \ ; log X dx est inférieure à i f ^ log x dx,

c'est-à-dire à p" + ^

elle tend donc vers zéro

lorsque n croit à l'infini. Dans le deuxième terme, nous écrirons

loff x

= log [i (1 ^)] = [(1 ^) 4- CL__£l! -,- ... j

Comme p est aussi voisin de l'unité que l'on veut et que x est compris entre p et 1, nous supposerons p choisi de manière que les termes qui suivent le premier dans le crochet précédent aient une somme inférieure à un nombre donné e. On aura alors

I \0gX I <(l —X){\ +£)

x- + 'loga;^^^

< (1 -H e) / x"-^^dx P

celte dernière intégrale, dont la valeur est „ o a évidem-

ment aussi pour limite zéro. On peut donc développer I en série et écrire

^dx =

ce dernier crochet a pour valeur ("*") j^ ; on a donc enfin

93. C'est encore de la même manière qu'on obtient la constante connue sous le nom d' intégrale elliptique complète de première espèce (voir n° 30)

\r I dx I d'J?

\/(l — x^) (1 — k'-x^) J y/l — A-^sin^cj)

Comme k^ est inférieur à l'unité, on a, en développant en série^

(1 — A-sin-(f) -^ = 1 + ^ /t^sin^'f 4- ^ A''sin*cp H- ...

et par suite

K=2 + |a-^ / ^^"'^^^^•••+^:ân-^^''" / 'sin'-'".c?T+-

Or cette dernière intégrale a été calculée (n° 78). On a donc enfin

Cette dernière série ne converge rapidement que si k^ est petit ; si k^ est voisin de l'unité, il vaut mieux poser

{*) Voir la démonslration au n» 140.

DES INTÉGRALES DEFINIES 121

et partir du développement de

(cos^o -+- ^'^sin^cf)-! = -i (1 -f- A-'2 tg^cû)"^,

\ ' '•' COS O ^ o i/ '

ce qui conduit à des calculs analogues aux précédents, et sur lesquels il n'est pas utile d'insister.