Considérons par exemple l'intégrale

Nous l'écrirons

T , sin 07 ,

t,2tz ^ {/j+ 1)-:

T y sina? , / sin^ , y sino; ,

1=1 ■ dx -\~ I — «07 -i-... H- 1 «07-

J X I ce I X .

Si l'on pose

07 = {2n — IJTT -H y,

on a

sin 07

J X I {2n — l)iz -h y ■^'

*^{2n — l)Tr «^0

tandis que

0) rr= (2n + 1)7T \J

donne

= / ^:^ dy.

On voit ainsi que les termes de la série sont alternativement positifs et négatifs. De plus chacun est inférieur au précédent et ces termes tendent vers zéro ; la série est donc convergente. On peut alors écrire

sin y f-J L + 1 ^^ 4- ...1 chj

Or on sait (voir par exemple n° 141) que

dans cette égalité, remplaçons x par ^; nous obtenons la formule

tang| = 22(2A;H-1^^-r

d'où l'on tire

1 = 2/ s^" 2/ tg I % = 7 sin^ I c??/

DES INTEGRALES DEFINIES 123

OU enfin

/ sin a; 7t