On établit de la même manière l'égalité

/ cos xdûo 1 / (e"^ — e — ") cos y

I a'- -H û^ 4a / e"- — 2 cos y -h e

C'est encore un développement en série qui permettra d'intégrer le deuxième membre : posons en efïet

La fraction à intégrer peut s'écrire, en n'écrivant pas provisoirement le facteur cos y,

t^ — l __ ,j 2t. cos y — 2

t'^ — 2t cos y -+- i t'^ — 2t cos y -+- i

~~ '^ t — e-''-'^ — e'!^ = 1 -H e'"-" ïl + e'.'/-a -1- e2^'.'/-«) -4-...]

= 1 H- 2e — '' cos ?/ -H 26—-"- cos 2// h- 26-^'' cos 3?/ +...

On a donc enfin, en remarquant que dans l'intégration le second terme seul donne un résultat différent de zéro^

/ cos œdx t:

Intégrales eurvîlîaiies

96. L'intégration se présente parfois sous une apparence plus compliquée. On rencontre en effet des expressions de la forme

1= [P(.x,y)dx -\- Q{x,y]dtj], (34)

r intégration devant être effectuée le Ion d'une courbe 'plane (C) donnée du point ix^ij^ au point {x^xj^.

Voici exactement ce qu'il faut entendre par là. Soient

les équations qui définissent les coordonnées d'un point de la courbe plane (C) donnée en fonction d'un paramètre t. Pour / = /g, le point courant coïncidera avec le point Mq qui a pour coordonnées

( Uo = t(0' et, pour t =z t^, avec le point Mj dont les coordonnées sont

Si dans les fonctions 'P{x,y), Qi-r^y) on remplace x et y par leurs valeurs en fonction de t, en même temps qu'on fera

c dx = f'(t)dt l dy =^ o'{t)dt,

DES INTEGRALES DEFINIES d25

les fonctions P(«,?/), Q{x,y) deviendront des fonctions de t, Fi{t), Qi{i) et l'on aura, par défmilion :

= / [P.{iyV) + QM-V)]dt. (36)

97. Cette nouvelle espèce d'intégrales donne naissance à un problème très important. Si deux courbes ont les mêmes extrémités Mç, et J/j, à quelles conditions les intégrales effectuées le long de ces courbes auront-elles la même valeur ?

Soient

les équations qui définissent une deuxième courbe (C), avec les conditions initiales et finales

l Uo = Hio) Vi = Hh)'

Nous allons envisager une courbe (C") qui se déforme de manière à passer de la forme (G) à la forme (C) ; pour cela nous poserons

œ = fit) + a [F(o - m] ) // = ?(o + «Ko - î(0] i

La courbe (C") ainsi définie se confond avec (C) pour a = 0 et avec C pour a r= 1. Nous exprimerons que l'intégrale prise le long de cette dernière courbe est indépendante du paramètre variable a pour toutes les valeurs de a comprises entre 0 et 1.

Les limites étant indépendantes de a, nous difîérentierons

sous le signe i ; il faut remarquer que maintenant, dans (34)

X et y sont remplacées par les valeurs tiréesdes équations (38)

dx

et qu'on doit remplacer par exemple dx par -f. dl, dy par d'il

dl

dt. On aura ainsi

,^x dri. ^ij d-j.J dt d'xdt

A'Q "Èi + ^'.Q ^VZ'/ ^Q dhj

\^x dy. i^i/doL/dt ' rfxo?^

dt.

Retranchons de celte éoralité la suivante

°=[pÊ-Qa::=/ [^fp^f^^fosn*.

A dx I dt\ d'y.

cï<v clu c[ui est identiquement vérifiée parce qu'aux limites -j- ^t -/

sont nulles.

• Il vient

it.

^3 — i I^X. ^\ l^^M ^ ^ii ^'

c/a / Wy è^ay \dy. dt dt do

Pour que cette dérivée soit nulle, quelle que soit a, il suffit que

La condition est aussi nécessaire, comme nous le démontrerons à propos du calcul des variations.

98. Il est indispensable de remarquer que ce raisonnement exige expressément que les deux fonctions P et Q soient continues et bien déterminées ainsi que leurs dérivées du premier ordre pour tous les points compris entre les deux courbes [c] et (c'). En efTet lorsque le paramètre « variera de

DES INTEGRALES DEFINIES

zéro à l'unité, la courbe (38) balaiera tout l'espace compris entre (G) et (C).

Nous désignerons désormais par la notation

{Pdx -\- Qdij)

l'intégrale qui vient d'être deTmie et qui ne dépend que des limites de l'intégrale. Lorsque nous voudrons distinguer deux chemins ayant les mêmes extrémités, nous les désignerons par trois lettres ; ainsi, en négligeant même, pour plus de rapidité, d'écrire la différentielle, le théorème que nous venons de démontrer s'énonce

MqQMj *^ MûPMi

sous la condition (39).