Le théorème précédent peut encore s'énoncer comme il

suit : Si les fonctions V et Q ne présentent aucune singularité à Vintérieur d'un contour fermé, l'intégrale

{Vclx + Qdij)

prise le long de ce contour est nulle^ pourvu que Von ait en tous les points de l'aire considérée

Ea effet on a

Si donc rintégrale prise le long d'an contour fermé est différente de zéro, on peut affirmer qu'une au moins des fonctions P ou Q présente une singularité à l'intérieur du contour.

101. Les intégrales curvilignes jouissent évidemment delà propriété des intégrales ordinaires qui peut être ainsi formulée

Mrf-

«-/ ATî *-^ nr. I *-y Afin

103. L'intégrale curviligne peut être considérée comme fonction de sa limite supérieure.

Soit u cette fonction, nous poserons

U = f (Pdx + Qdy)

DES INTEGRALES DEFINIES 120

et u dépendra des deux variables j? et y. Donnons à ^l'accroissement Lx, y restant constant ; u deviendra

{?dx + Q«f//) + / ' {Pclx + (}dy).

On aura par suite

Au= {Pdx -+- Qdy) = / Pc^.v

parce que, dans cette dernière intégration, y reste constant. Il en résulte immédiatement

et l'on démontrerait de même que

On a donc "

du = Vd^: -\- Qdi/.

Ainsi, si deux fonctions P et Q sont telles que ôP ^(^

il existe une fonction u des deux variables x et y, définie par la notation

u = / (Pdx + QJy), et dont les dérivées partielles sont précisément^ et Q.

Calcul iNriKnÉsiMAL

Pour déterminer cette fonction, on pourra intégrer d'abord sur une parallèle à Ox de œ^ à x, en laissant y constant et égal à y^, puis sur une parallèle à Oy de y^^ k y en laissant x constant et égal à la valeur finale x. On aura ainsi

u= I V{x,y^)dx + 1 Q{x,y)dy -h u^

en désignant par u^ la valeur de it au point M^.

103. Il est clair que la différentielle totale d'une fonction quelconque de deux variables remplira les conditions d'intégration voulues. Soit en effet

au = — dx -] dii.

on aura évidemment

dy Vùxl dx \>y j

s a nonr valftiir

puisque chacune de ces deux expressions a pour valeur —