Exemple. La quantité

ydx — xdy x"- ^ y'^

remplit les conditions d'intégrabililé, comme on le vérifie aisément. On aura donc

-ir— 5 C?^^ — / ~> --> (^1/

/y* nr l II ?/ \

arctanar arctanar — — arctanar •-' — arctanar --- ).

DES INTEGRALES DEFINIES 131

Or on a évidemment

ai-ct^ h arctg- -'- = ^;

l'intégrale cherchée est donc

it = ç, — arctg ^ — arctg -~ ,

ou, plus simplement,

u = arctg 1- c.

liitéaration des clifférentielles totales

105. Les résultats obtenus dans les paragraphes précédents peuvent être généralisés. Désignant par Xi, Xoj.-'Xji des fonctions de n variables ^j, x.^... Xn, nous considérerons maintenant des expressions £ telles que

E ^ XjOJa?! 4- XjC^^a + ...-+- X„(i,j. (40)

On obtient, par exemple, de pareilles expressions en difierentiant totalement une fonction quelconque de ces n variables ; on a en effet

Ci?C3 = — ^ dx, H dx^ H- ... H- ; dXn-

Si donc £ est la différentielle totale d'une fonction «p, on peut affirmer que

On en déduit immédiatement que

c^i^oX^. ^ (41)

car les deux membres sont ésfaux à ^ ^ . Nous obtenons

ainsi - — r,- — — conditions auxquelles doivent nécessair'ement

être assujettis les coefficients X; pour que l'expression z puisse être une difïe'rentielle exacte d'une certaine fonction ©.

Nous allons montrer réciproquement que, si les conditions (41) sont remplies, il est toujours possible de déterminer une fonction ?, dont z soit la différentielle et qui prenne une valeur donnée w^ pour des valeurs arbitraires a^, a.,... an attribuées aux variables .2^1, a^o... Xn- Posons

l'intégration ne se rapportant qu'à la variable x^, nous aurons

et, pour i différent de l'unité,

i>Xi f t>^j ^ / ^>X

en désignant par X-' la valeur de X, pour x^. Il en résulte

dic^ =: X^clx^ -+- (X.^ — Xoi)d-'^2 4- ... --H (X„ — X'^')cLrn-

Retranchons celte égalité de l'égalité (40) : il reste

£ — dii^ = XVclx., + ...-+- Xn>dXn

le second membre étant composé comme £, mais avec une variable de moins. Dans ce second membre, les conditions d'intégrabilité sont évidemment satisfaites puisqu'elles figurent parmi les équations (41) où on a seulement remplacé ^'i par «j.

DES INTEGRALES DEFINIES 133

On réduira de même à une nouvelle expression simplifiée en posant

ce qui donnera, par une notation facile à comprendre,

£ — du^ — du., = Xj^'^^fia^j -f- ... -i- Xfii>''2^a;„,

et ainsi de suite. Finalement on aura

£ = du^ -\- du.y H- ... + dUn,

et par conséquent £ sera la différentielle d'une fonction

o = e^j + w^ H- ... -H u,i -\- C'' ou

- / :^l^dx, + /

X^dx^ + / X:^ic?â', + / X;^'«2c/a7,

Soit par exemple

do =. {y -\- z)dx H- (;? H- x)dy -h (a' + ij)dz

On a

'f rr= {ij + .sr) (.a^ — a,) -i-{z -\- a,) (ij — a,) -h [a, -F a^) (.s — «3) = ,r// -}- //xr H- 5.-<; 4- C''.

Des fonctions nmltîfornies

106. Les considérations développées dans les n°^ 100 à 103 permettent de préciser le sens du mot « fonction ». Nous appellerons fonctions uniformes ou monodrômes celles qui reprennent toujours la même valeur au même point (c'està-dire pour le même système de valeurs des coordonnées x

et y), quel que soit le chemin suivi pour arriver à ce point. Les autres fonctions sont dites multiformes, polydrômes, ou simplement 7nal déterminées. Ces mots s'entendent dans tout le plan ou dans une région limitée, suivant les cas. Les fonctions

x^ — y\ j e^siny,

sont des fonctions uniformes.

Au contraire

^x" H- \f, arctang ^

sont des fonctions multiformes. En effet donnons à .2? la valeur 3 et à ?/ la valeur 4 ; sj-x^ h- xf peut prendre les deux valeurs dz 5,

et arctang - peut recevoir une infinité' de valeurs renfermées

dans la formule

A'Tï H- arc tang- ^ ,

le dernier arc tang étant celui compris entre zéro et r,.

lOT. Si Ton différentie une fonction multiforme, la valeur de l'intégrale de cette différentielle dépendra du chemin suivi. En particulier l'intégrale le long d'un contour fermé ne sera pas toujours nulle.

Considérons, par exemple, la différentielle

, 1 . V ocdu — iidx rtM = (/.arctang ^ = — % ^5—

et cherchons la valeur de l'intégrale (C/"n° 104)

1 y xdy — ydx

prise le long d'un cercle de rayon R qui a son centre à l'ori-

DES INTEGRALES DEFINIES 135

gine. La géométrie donne immédiatement la réponse ; en effet on a sur le cercle

et œdy — ydx représente, au signe près, le double de l'aire du triangle qui a pour sommets l'origine et deux points M et M infiniment voisins l'un de l'autre, pris sur lacirconiérence. La somme des aires de ces triangles infiniment petits est évidemment T^R" et l'on a

.tel y — ydx

On prendra le signe +, si, en tournant sur la circonférence dans le sens trigonome'trique on rencontre d'abord le point M(^, y), puis le point M.'{x -\- dx, y -\- dy), le signe — dans le cas contraire.

Le même résultat peut d'ailleurs être retrouvé autrement : posons

07 == R cos t î/ = R sin t.

L'intégrale devient, en tournant dans le sens trigonométrique et, en tournant en sens contraire,

2iz I

dt = — l.

Cet exemple fait voir qu'il faid toujours, dans le calcul des intégrales le long d'un contour fermé, préciser avec soin le sens dans lequel on décrit ce contour.

108. Nous allons entrer, à ce sujet, dans quelques détails et envisager des contours plus compliqués.

Soit une courbe (C) fermée, et renfermant plusieurs autres courbes fermées (y), (7')» (ï") • supposons que ces contours n'aient aucun point commun.

FiG. 3

Il existe une région, couverte de hachures dans la figure, comprise entre les courbes (y), (y'), (t") ^^ (C)- Nous dirons que le contour de la région est parcouru dans un sens donné si un mobile, parcourant les quatre courbes, laisse toujours la région du même côlé, par exemple à sa gauche. Observons, en passant, qu'un autre chemin fermé quelconque tracé dans la région pourra, par des déformations successives, être réduit, ou non, à un point, suivant qu'il enfermera, ou non, quelques unes des courbes (y), (y'), (y").

On pourrait imaginer des contours plus compliqués, tels que le suivant ;

FiG. 4 mais nous n'aurons pas à les envisager.

109. Cela posé, supposons que les fonctions P et Q restent uniformes dans la région ombrée qui vient d'être définie. L'intégrale

(Pdx -t- Qd,j),

DES mTEGRALES DEFINIES 137

prise le long d'une courbe fermée quelconque réductible à un point par des déformations successives, aura toujours pour valeur zéro.

Nous allons en déduire la relation

les contours étant cette fois-ci tous parcourus dans le sens trigonométrique, ou tous en sens contraire.

Envisageons à cet elTet le chemin RABCDEFGHIJKLMNO PQR ; ce chemin pourrait être réduit à zéro par des déformations successives, et sans sortir dé la région. L'intégrale

(Pdx -^ Qdij),

prise le long de ce chemin, est donc nulle ; on a donc, en la décomposant