AB «^ DE «^ GH «^JK *^MN *^ PQ

(Y') «^Bi.j «-'(y") ^ nop ^- (y)

en désignant par / j ... j les intégrales parcourues

t^rvi c/rv"> ^In')

dans le sens trigonométrique. Enfin

*^ EFG •^ KLM '^ QRA *^ (cj

de sorte que l'égalité (42) devient

ce que nous voulions démontrer.

110. Retour sur les fonctions multiformes. Il est toujours possible, en restreignant les facilités que le point M.{x^y) de la courbe a à se déplacer, de transformer une fonction multiforme en fonction uniforme ; nous entendons par là que la fonction, soumise maintenant aux restrictions auxquelles nous avons fait allusion, ne peut plus prendre en chaque point de la région considérée qu'une seule valeur.

Un exemple fera bien comprendre la manière d'opérer.

Reprenons la fonction arctg ^^ et montrons d'abord qu'il est

DES INTÉGRALES DEFINIES 139

toujours possible de passer d'une valeur de la fonction à une valeur différente par une variation continue^ tout en restant dans un domaine déterminé, par exemple à l'intérieur d'une circonférence de centre 0 et de rayon 2. Nous choisirons, comme chemin décrit par le point M[x^ y), la circonférence de centre 0 et de rayon 1, et pour valeur initiale de la fonction au point A, dont les coordonnées sont ^ = 1, ?/ = 0^ la valeur

zéro. Posons

X = cos t y == sin t ;

la fonction arctang ^ est simplement égale à t, et, pour que

le point M décrive la circonférence donnée, il suffit de faire varier t de zéro à 2t,. Lorsque M sera revenu en A, arctang

^ aura la valeur 2-1:.

Menons maintenant un rayon OB quelconque du cercle de rayon 2, et interdisons au point J\J de franchir ce rayon. Quel que soit le chemin parcouru dans le domaine considéré, avec la nouvelle restriction que nous venons d'apporter aux déplacements, soit par exemple le chemin ANDN'CA, lorsque le point M reviendra à son point de départ, la fonction reprendra sa

valeur initiale ; arctg -^ est dans les nouvelles conditions une

fonction uniforme.

FiG. 6 Il est à remarquer qu'aux deux points N et N' qu'on peut supposer aussi voisins qu'on le voudra de OB, mais de part et

d'autre de OB, la fonction arctg ^ prend deux valeurs qui

ditïèrent entre elles de près de 2Tr. Si donc Ton voulait franchir le rayon OB pour passer de N à N', il faudrait diminuer brusquement la valeur en N de 2ri pour avoir la valeur en N'. Le ra3'0n OB s'appelle une coupure.

Ce qui précède suffit pour faire comprendre comment il faudra opérer dans tous les cas. Appelons points dé hrancheme?i/ les points qui, situés entre deux chemins ayant les mêmes extrémités, font acquérir finalement à la fonction qui parcourt ces deux chemins, avec la même valeur initiale, des valeurs différentes. On mènera des coupures de chaque point de branchement à la limite du domaine, limite qui peut dans certains cas être reculée à rinlîni ; pour tout chemin intérieur au domaine et qui ne franchira aucune coupure, la fonction demeurera uniforme.

Nous trouverons dans le chapitre suivant de nouveaux exemples.

CHiPITRE m

1 1 1. Les intégrales de la forme / {Pdx -l- Qdy), lorsqu'elles

existent, définissent ce quon peut appeler des fojictions de point. Parmi celles-ci, nous considérerons en particulier les fonctions de variables imaginaires telles que nous les avons définies dans le premier volume (§§ 2G0 et suivants). Quoique nous paraissions sortir du domaine pratique qui intéresse exclusivement l'ingénieur, le lecteur, qui prendra la peine de lire ce chapitre, verra que Temploi des imaginaires présente souvent le plus court moyen de trouver d'importants résultats relatifs au domaine réel. S'il le veut, il pourra d'ailleurs se contenter de constater ces résultats.

Nous désignerons toujours par la lettre z la fonction de point très simple x -t- iy. Soit alors

f{z) = F{x,ii)-hi%x,y).

L'intégrale / f{z)dz sera définie de la manière suivante on se donne une courbe (C)

142 CHAPITRE m

passant aux points MJz^ ■= x^ + nj^) et M^(^, = x^ + iy^). Si l'on remplace

z par '^{t) + vh{t) dz par [o'[t) -h iJ>'(0] ^^^ f[z)dz devient

[F(0 H- ^•F,(0] [c?'(0 + im] di> ce qui peut s'écrire, plus simplement,

la quantité

sera dite la valeur de / f{z)dz. Il est clair que cette inté-

grale jouit des propriétés des intégrales réelles auxquelles elle se ramène par définition.

En particulier si z^ est un point de la courbe (C) compris entre z^ et Zi^ on aura

On pourra aussi poser

f{z) = ?{x,y)-^i(i{œ.y)-, et Ton aura, le long de la même courbe (C),

f{z)dz = (P + iQ) {dx -h idij)

/ [(P + i(ï)dx + [i? — Q)dy] ,

cette dernière inte'grale étant parfaitement définie lorsqu'on remplace x Qiy par leurs valeurs en fonction de t.

VXH. Si maintenant on cherche à quelles conditions l'intégrale qui vient d'être définie ne dépend que des limites, on sera conduit à faire un raisonnement identique à celui du n° 1)7, et par suite la condition (39) s'appliquera, c'est-à-dire qu'on devra avoir

^?/ isy fir i>x- '

ou encore, en séparant les parties réelles et les parties imaginaires

^x riy ' ^y ~" Sx ' ^ ^

ce sont les conditions (10) du n° 261 (Tome l"''"). Ainsi, dès que P + jQ représente une fonction de x + iy, il existe une autre fonction de point que l'on peut représenter par la notation

u = j f{z)dz, et qui est égale a l'intégiale curviligne

[P -+- ^■Q) [dx -h idij).

Comme on a (n'^ 102) du = (P + i())dx + (P + i())idu = (P -I- «Q) (d.:c + idy),

ou

du = fi^z'dz,

f{z) est la dérivée de ii, la dérivée éJant prise comme si z était réelle.

113. Cette intégrale jouit évidemment des propriétés des intégrales ordinaires, rappelées (n°* 3 à 6). On aura :

f{z)dz = '^{h) - cp(a),

si ç.(5) esl une fonction primitive de f{z) et si, de « à b, le chemin parcouru ne présente aucun point critique , de même

les points 6 et c étant sur le parcours de « à «^; enfin

Les théorèmes de la moyenne doivent être modifiés. On aurait bien, à la vérité, pour / et h réels,

f{t^h)^^{t^h)-[f{l)-^^[l)] = h[f{t-\-^h)-^i^\i-+-^Ji)].

Mais M. Darboux a montré qu'on peut supposer 6 = 6^, à condition de modifier le mulliplicateur des dérivées. Posons

^b J = I F{l)dt.

Le module d'une somme étant inférieur à la somme des modules des termes de la somme, on aura

le second membre est maintenant réel, et on peut lui appliquer le premier théorème de la moyenne (n° 8, form. 7)

7 I 1^(0 \dt = [h-a)\ F(|) I ,

d'oLi, en désignant par 6 un nombre positif inférieur à un,

Or si t? et oj désignent les arguments de J et de F(^), on a

J = I J I (cos cp H- i sin o) F(î) = I F(J) I (cos 0) -f- i sin w) ;

on en déduit

cos cp -I- e sin tp "• ^ cos oj -f- z sin co

ou

J r= 6(& — a) [cos (cp — w) + i sin (cp — to)] F(^),

ou enfin

Y[t)dt = \{h — a)F(0, (2)

X étant une quantité complexe dont le module est inférieur à l'unité et ^ un nombre réel compris entre a et b. La formule (2) est la généralisation de la formule (7) du premier chapitre ; on généraliserait d'une manière analogue la formule (8) et nous écrirons, sans démonstration,

f{t)F(t)dt = IfCz) / F(t)dt (3)

les lettres X et ç conservant la même signification que ci-dessus,

Calcul iinfisitésimal 10

et la fonction f{t) étant assujettie à utre réelle et positive entre « et h.

Considérons enfin l'intégrale

f[z)dz = / (P + i(}) {dcc -4- idy) ;

on a, d'après ce qui précède,

mod 1 = 6/ mod f{z) mod (dx -\- idy) == 6 mod /(c) j ds

^ ta

en appelant ds l'arc AA' de courbe terminé aux point ^^ et:r... Enfin, en introduisant le fadeur X de M. Darboux, on a

J = X arc AA7(0