Le théorème du n° 17 subsiste sans modification

et il est encore vrai (n° 18) que l'intégrale / f{z)dz a une

signification, si le produit ^"/(s) a une limite pour 5 = oo et pour ?« > 1. Voici un théorème analogue qui nous sera d'une grande utilité : « Si, pour z = œ ou pour z = 0 le produit

zfiz) tend vers zéro, Vintégrale j j{z)dz, prise le long d'un

cercle de rayon infini^ ou d'un cercle de rayon infiniment petit, ayant V origine pour centre, est nulle. En effet, l'on a, comme précédemment,

< / 1 m I I ciz

Posons

^ := Pi (cos cp H- i siii o),

dz = Ri (ces cp H- i sin cf) d^, \ dz \ = Rc^cp ;

mais on a

lira zf (^) = 0 ; donc

£ étant un nombre arbitraire, ou

IA^)1<;^- En se reportant à la première inégalité, on voit que l'on a

f{z) dz

^Rc?cp

ce qui démontre le théorème, puisque e peut être pris aussi petit que l'on veut.

Remarque. — En transportant l'origine au point «, on

verrait de même que l'intégrale i f{z) dz prise le long d'un

cercle infiniment petit décrit autour du point a comme centre est nulle si le produit [z — a) f{z) tend vers zéro pour z = a.