Voici

quelques

exemples.

1° Soit

où

u = log z.

On sait que u prendra une infinité de valeurs données par la formule (I, n° 269)

%i = log' r -H e (o -h- 2kiz)

et qu'on passe de l'une à l'autre en faisant décrire au point z des circonférences de rayon r autour de l'origine.

Nous avons dit (n° 13) que / ~ est indéterminée, et le

fait reste exact si x est réelle ; mais / — sera bien dé-

finie si la variable z décrit un chemin quelconque ne passant

pas par l'origine,

2° De même la fonction ,— — — 2 est uniforme et son inté»

grale

, dz ,

u = I , „ = arc tang z

admet une infinité de valeurs contenues dans la formule

u = îfn -+■ k-K

Voici comment se trouvent ces diverses valeurs : on remarque que II peut s'écrire

dz 1 1

Lorsque le point s tourne autour d'un des points critiques ^ i et — i, l'un ou l'autre des logarithmes s'accroil (ou diminue) de 27:/ ; par suite u a repris, après un tour de z, sa valeur initiale augmentée ou diminuée de tt.

3° Dans l'exemple suivant, la fonction est indéterminée mais n'est susceptible que de deux déterminations, tandis que son intégrale admet encore, pour chaque valeur de z, une infinité de valeurs. Soit

arc sin z

si a est une valeur de arc sin:;, les autres sont données par la formule

dans laquelle k représente un nombre entier positif ou négatif. Marquons en effet sur t'axe ox les points A et A' qui ont pour coordonnées \ et — 1 ; supposons de plus que nous donnions à \/l

S' comme valeur initiale

1 à l'origine.

Fjg. 7 Si l'on va en ligne droite de 0 à M, le radical acquerra en

130 CHAPITRE IIT

M une certaine valeur que nous appellerons R. Mais si l'on suit le chemin OCM, la valeur finale en M ne sera plus nécessairement la même, parce qu'entre les deux chemins se trouve le point A qui est critique pour v/1 — z^. Ce chemin peut être remplacé par le suivant : de 0 jusqu'au voisinage de A en dessous de Ox [z réel et égal à x), une circonférence de rayon r autour de A décrite dans le sens trigonométrique, de A en 0 au-dessus de Ox et enfin de 0 à M en ligne droite. Entre ce nouveau chemin et la ligne OCM, il n'y a aucun point

singulier de ■ ; on peut donc être sur que ces deux

chemins font acquérir à f{z) la même valeur. Or posons

z = X -\- iy, X = i -\- r cos t, y = r sin t,

\/\ — z^ \/ — r (cos t -h i sin t) (2 -i- r cos / + i^ sin t)

COS — ^ ^ siu

yr \/2 -h r cos t -+- ir sin t \ "

Lorsque le point z varie de 0 à A, l'argument t conserve la valeur — ti ; près de A, on peut supposer r assez petit pour que le produit des facteurs affectés de radicaux reste suffîsam-

ment voisin de-— ^. Le seul facteur qui sera sérieusement

modifié pendant le parcours de la circonférence autour de A, c'est-à-dire lorsque t varie de — tt à -h tt est le facteur

cos — ~ — i sin "^ "^ . Sa valeur initiale est -h 1 et sa valeur

finale — 1, c'est-a-dire qu'après avoir tourné autour de A, f{z) a changé de signe et, lorsqu'on revient en 0, sa valeur est — 1, par suite en M^ elle sera égale à — R. Un nouveau tour autour de A ou A', changera encore une fois le signe; on pourra donc, à volonté, suivant que le nombre des tours faits autour de A et de A' sera pair ou impair, arriver finalement en M avec la valeur h- R ou — R.

INTEGRATION DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES loi

Considérons maintenant l'intégrale

et voyons comment elle se modifiera dans les mêmes circonstances. Appelons I la valeur de cette intégrale lorsque l'on va en ligne droite de 0 à M :

posons aussi

\J\ — og" '0

Le long du chemin OCM, on aura, en remplaçant ce chemin par le dernier chemin que nous avons considéré,

(4) OA *^circA *^ Ao «-^0

or on a

/l — so'^ 2*