OA

£/ ;'( — cost ^icQSt) ( r^-\-t . . tt + A , = / ,- ; - ^ - cos-^ esin-ij— (if;

/ V/r\/2-+-rcos^-hzVsinf v ^ . '^ '

lorsque r tend vers zéro, il en est évidemment de même de l'intégrale, à cause de la présence du facteur constant -^ et l'on a

lo2 CHAPITRE III

En tournant autour du point A, le radical a changé de signe et l'on a

dx l clx

/l — x" / y/l — a-- ^ Enfin (5)

Donc, en se reportant à la formule (5), on trouve

OGM

Si l'on fait un nouveau tour autour de A' avant d'aller de 0 en M, le signe du radical sera de nouveau changé, et comme

/ dx l dx t:

oa' «^ 0 ^--^ 0

on arrivera en M avec la valeur

Finalement on obtiendra en M pour l'intégrale une inQnité de valeurs de la forme

A:Tt + ( — \y\

k étant un nombre entier positif ou nul. Les valeurs négatives de k s'obtiendraient en commençant par tourner autour de A', ou en tournant en sens contraire.

117. Tout chemin qui part d'un point ordinaire pour contourner un point critique et revenir au point de départ, comme celui que nous avons considéré dans l'exemple précédent, s'appelle un lacet. On vient de voir que c'est à l'existence des lacets dans le contour suivi qu'est due la naissance des périodes. Cette profonde considération due au géomètre Norvégien Abel a révolutionné le calcul intégral ; avant de traiter un deuxième exemple, insistons sur les conséquences de l'étude laite dans le paragraphe précédent. L'intégrale, prise suivant un chemin quelconque de 0 à M, et que nous désignerons par la lettre z/, a été considérée comme fonction de z, et l'on a vu que cette fonction est mal déterminée puisqu'à une valeur de z correspondent une infinité de valeurs de u. Au contraire, si z est pris comme fonction de ii,

la fonction z est parfaitement déterminée : à chaque valeur de u correspond une seule valeur de z, et cette dernière fonction reprend périodiquement la même valeur pour toutes les valeurs de u comprises dans la formule

Pour k pair = 'lU , on a

2A'-n:' s'appelle une ^période de z. La plus petite période correspond à A' = 1 ; c'est la période %'.. L'équation

peut donc être considérée comme définissant, soit u en fonction de z, c'est-à-dire arc sin z^ soit la fonction inverse :; en fonction de u, c'est-à-dire le sinus. 11 faut cependant donner en- plus la valeur initiale de u pour ^ == 0, soit u = 0. A vrai dire, nous n'avons étudié que la pcTiodicité de z et

notre étude est incomplète. Mais la fonction sin ii est trop connue pour que nous insistions davantage. Nous préférons appliquer la même méthode à des fonctions moins élémentaires.

Théorème de Taylor

118. Auparavant nous démontrerons la formule de Taylor dans le cas où la variable est imaginaire. Etablissons d'abord un lemme du à Cauchy : ce Si f(z) est une fonction continue et uniforme et si elle a des dérivées bien déterminées en chaque point dune régioji limitée par un contour fermé, on aura les formules

n 'w — 2^/ / (z — ay

dz.

En effet entourons le point A{z = a) d'une petite circon-

FiG. 8

férence (y) de centre A. On peut pour l'intégration remplacer le contour (C) par (y) et poser

z ^= a -\- r (ces t -\- i un t) ■=^ a -\- re'' dz = rié'dt.

Donc

éi fî~a '''-kl. 'fia + ..■■)*.

Mais la fonction étant continue, on peut prendre r assez petit pour que f{a -+- ré') difîère de f{a) de moins de z, quel que soit s.

Posons

f{a + ré') = fia) + R ; .

on aura

/ f{a + ré')dt = i f(n)dt + / Rdf, ^

Rdt < / zdt, 0 *- 0

/ Rdt < 2-srf^

Lorsque e tend vers zéro, il en est de même de / Rdt et il reste

ce qui démontre la première égalité (6) ; les autres s'en déduisent en prenant les dérivées des deux membres par rapport à a, ce qui se fera, dans le premier membre, on difîérentiant

simplement sous le signe / .

Il est très intéressant de remarquer que, si a est une variable,

la fonction ç— . I '^" dz prend la valeur /"(«), tant que a

reste à l'intérieur du contour (c) et la valeur zéro, en dehors du contour. Cette ligne (C) est donc une ligne de discontinuité, une coupure.

I 19. Cela posé, considérons l'intégrale / ;; — f-^ — - dz qui

a pour valeur, d'après ce qui vient d'être démontré, f {a -+- /), pourvu que le point a -]~ t soit aussi à l'intérieur du contour (G)

Nous supposerons de plus la distance du point A au point a -\- t inférieure à la plus courte distance S de A à la courbe (C), de manière à avoir pour tous les points de cette courbe

On pourra alors poser

z — a — t z — a {z — af {z — af "' [z — a)"

d'où

Cette égalité devient, à cause des formules (6),

en posant

2«Rn = (» ; ,, ^)„ff L „ „ I) dz.

On pourra supposer n infini si Rn tend vers zéro. Or on peut remplacer l'intégrale le long de (G) par l'intégrale prise le long d'un cercle ayant pour centre le point A, enfermant le point a -<r t tout en restant intérieur à (G). Soit p le rayon de ce cercle, M le modèle maximum de f[z) sur le cercle ; le module de z — a — t sera supérieur à p — \ t \ , celui de la fraction à intégrer sera inférieur ou au plus égal au quotient de M par p" (p — | ^ ). Comme l'intégrale de dz le long du cercle a pour module 2ttp^ on aura enfin

et cette dernière quantité tend évidemment vers zéro pour /i =: 00 . On a donc finalement, pour les quantités imaginaires comme pour les quantités réelles, la formule de Taylor

iS8 CHAPITRE III

Cette formule subsistera pour tous les points intérieurs au plus petit cercle, concentrique à A, qui passe par un point critique de f[z).

ISO. En particulier, pour « = 0, on aura la formule de Maclaurin

m = f{0) + tf (0) + ... -4- £ fin) (0) + ... (8)

Par exemple, on aura, à l'intérieur d'un cercle de rayon un concentrique à l'origine

^rZTt — ^ "^ 2 " ^ 2.4 ^ ^ 2.4.6

en général les formules établies dans le premier volume (n°« 152 et suivants) subsisteront avec les mêmes conditions de convergence. Ainsi e% sin z, cos z seront développables en série dans tout le plan.

Il est essentiel de remarquer la clarté que le domaine imaginaire apporte dans ce théorème ; ainsi dans le troisième exemple qui vient d'être donné, la fonction n'a aucun point critique réel, tandis qu'elle admet les pôles ï = ±^■ : la convergence cesse donc sur le cercle qui passe par ces points critiques, c'est-à-dire sur le cercle de rayon un, et cela, même en se bornant aux valeurs réelles de t.

Inversion des intégrales liyperelliptiques

121. Nous avons appelé intégrales hyper elliptiques celles dont le coefficient différentiel est composé rationnellement de la variable et d'un radical portant sur un polylôme entier par

rapport à cette variable, et nous avons appris (no 46) à réduire ces intégrales à un certain nombre de types. Nous n'envisagerons ici que celles de la forme

w — Wo = / ~ (9)

ou

les quantités «i, a^... a,n sont supposées distinctes. Nous allons effectuer Vinversion^ c'est-à-dire étudier z comme fonction de u définie par l'équation (9).

Soit d'abord -i un point ordinaire de z; on peut développer

-zz en série de Taylor dans le voisinage de Zi et écrire

du = [ocp -f- oi^^s — z^) -h ...\ dz d'où

u— IC,= a^{z — Z^) + ^' (- — -i)' + •••

On voit déjà que le point z^ est un point ordinaire de u ; mais, déplus, si l'on résoud l'équation précédente par rapport à z — Sj, ce qui se fera en posant, dans cette équation,

z — Zi = <^y(lC — Wj + PoC" — ^^if + •••

et en déterminant les coefficients Pj, Pa---' on trouve pour Pu Pa--- des valeurs bien déterminées et uniques, ce qui prouve que 1*1 est un point ordinaire de la fonction z.

Etudions maintenant z dans le voisinage d'un point a^ ; par exemple, supposons que z tende vers a^. Nous poserons

d'où

dz = 2tdl

dz 2dt

fL sjk^a^ — a^-v i^){a^ — a,^-\-t'')

V Ao L i

Le crochet est monodrôme en i^ = ^ — r?.j ; donc le point z =1 a^ est un point de branchement pour u et autour de ce point s'échangent deux valeurs de u. Mais on tirera de l'équation précédente \/ z — aj, et à plus forte raison z — a^, en fonction monodrôme de u — u^,

z Gj --= o{u — Ui)~ -+■ 0^(U — ÎC^Y -f- ...

c"est-à-dire que, pour la fonction inverse z, le point u^ est un point ordinaire.

Cherchons enfin ce qui se passe si z devient infinie : posons

1 , dt

, dt

du = —

ti-'i s/{\. — ai<) (1 — a^t)... (1 — a,ni) On en déduit

u Ur,

fl

ht'

Et par suite t s'écrira

2 p t = {u — Uo)'"~" h "^ ^(^^ ~ ^'o) + •••]•

Si m > 4, l'exposant est une vraie fraction el le point u^ est un point de branchement pour t et pour son inverse z.

Soit m-=h^ : le point u^ est un zéro simple de t et par suite z est infinie pour w = w^.

Soit tn = 3 : on aura

t = {u — tlof [d H- &(2< — ïIq) -+- ]

ou encore

La fonction z est infinie pour u = ^^o. et son inverse admet Wq comme zéro double ; nous dirons que Uq est un pôle double de z. La fonction z ne cesse pas d'être uniforme aux environs de Wo-

Pour m = 2, on voit que le point Uq est ordinaire pour t et pour son inverse z. Dans ce cas z reste finie pour toutes les valeurs finies de u, ce qui était d'ailleurs connu puisque dans ce cas z est, à une constante près, proportionnelle à un siuus.

Enfin, si m = 1, le point u^ est un pôle pour t et un zéro simple pour z qui n'a, dans ce cas encore, ni branchement, ni point de discontinuité dans tout le plan ; on a en effet

Avant de résumer cette discussion, nous allons donner quelques définitions.

Calcol infinitésimal 1-1

162 CHAPITRE m

l!S!S. On appelle pomt ordinaire d'une fonction un point dans les environs duquel la fonction reste continue et uniforme ainsi que sa dérivée. Un pôle est, comme nous venons de le voir, un point où la fonction devient infinie, mais qui est ordinaire pour l'inverse de la fonction. En un pareil point l'on a donc, m désignant un nombre positif entier

ou

7 [a, 4- a.Ju — u?) H- ...1

{u — %i^Y' {u — Uç,)"'- 1 ^ ••• IC — Uq

Le pôle Uq est ici un pôle d'ordre m ; la quantité «,„ qui figure au numérateur de la fraction du premier degré joue un rôle capital dans la théorie des fonctions, on lui a donné le nom de résidu de la fonction relatif au pôle n^^.

On appelle fonctions holomorphes, ou simplement entières, ou encore régulières les fonctions uniformes qui ne présentent aucun point critique, sauf peut-être à l'infini et qui ont une dérivée en chaque point ; fonctions méromorphes (à formes fractionnaires) celles qui restent finies, sauf en certains points isolés qui sont des pôles.

Les polynômes entiers, e==, sin z, sont des fonctions holomorphes ; les fractions algébriques rationnelles, les quotients de deux fonctions holomorphes, par exemple tang z, sont des fonctions méromorphes.

Suivant les cas, la fonction sera holomorphe ou méromorphe, dans tout le plan, ou dans une partie du plan.

iS3. Il existe d'autres espèces de points critiques ; nous avons déjà rencontré^ dans les expressions irrationnelles, des points autour desquels s'échangent les déterminations diverses d'une fonction multiforme. Ce sont des points de branchement.

Considérons encore le logarithme : l'origine est un point critique pour log^; si l'affixe tourne autour de l'origine, le

INTEGRATION DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINi^lRES 163

logarithme peut acquérir une infinité de valeurs comprises dans la formule (tome l®'^ n° 269).

log z = log'r -h i{o H- 2Â;rt)

et l'on voit qu'il sulfira de tourner À' fois autour de l'origine pour que le logarithme s'augmente de tk-RÏ. A l'origine même, le logarithme a son module infini et son argument indéterminé.

Comme autre exemple, nous considérerons la fonction

— T. Cette fonction a une infinité de pôles qu'on obtient en

sin -

posant

h étant entier positif ou négatif. Ce sont des pôles dans le voisinage desquels la fonction reste bien déterminée ; ils sont isolés les uns des autres. 11 en est tout autrement du point 5=0 qui ne peut être isolé des pôles voisins, car on pourra

toujours prendre k assez grand pour que le pôle z^^^i^— soit

aussi voisin de l'origine qu'on voudra. De plus dans le voisinage de l'origine, la fonction pourra prendre toutes les valeurs que l'on voudra ; car, si l'on résout l'équation

sm - = A,

on trouvera une infinité de solutions données par la formule

ou

Ati h- (— \fa'

formule qui donne des points aussi voisins de l'origine qu'on le veut en prenant h suffisamment grand.

16 i CHAPITRE III

Enfin la fonction e^ présente l'exemple d'une fonction monodrôme et continue dans tout le plan, sauf à l'origine où son

cos 9

module e~^ est nul ou infini suivant que cos o est négatif ou positif, et indéterminé si cos tp tend vers zéro en même temps que r

On appelle ^owz^5 singuliers essentiels ceux où la fonction est indéterminée, tout en restant uniforme dans le voisinage (ils sont donc critiques pour la fonction en môme temps que pour son inverse). Un point singulier essentiel »n'est pas nécessairement un point de branchement et, si on l'entoure d'un petit cercle, il se peut très bien qu'à l'instar de ce qui se passe pour un pôle, la fonction demeure holomorphe à l'extérieur et dans le voisinage de ce cercle. Au contraire, il ne suffirait pas d'entourer un point de branchement d'un petit cercle pour que, dans la région extérieure au petit cercle, la fonction devienne uniforme ; nous avons vu (n° 108) qu'il faut établir dans le plan de la variable des coupures infranchissables à la variable pour transformer une fonction multiforme en fonction uniforme. Le théorème suivant va nous montrer comment, par extension de ce qui se fait pour les fonctions méromorphes, on peut développer une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel.

134. Théorème de Laurent. — Si une fonction uniforme est continue dans la région comprise entre deux circonférences, elle peut être développée, dans cette région, en série doublement infinie suivant les puissances de V accroissement de la variable positives et négatives.

Soit en effet a le centre des deux circoniérences \ a + t wa. point de la couronne circulaire, c et c' les circonférences, r et r' leurs rayons (r >> r). Décrivons autour du point a -\- t une circonférence y qui reste tout entière dans la couronne. On a vu (n° 117) que

f{a-rt)=~ I .3'J t'^~- (12)

Mais comme il n'y a pas de points critiques dans la région comprise entre les circonférences

d'où

Le long de c on a

Donc

a — t z — a {z — cCf

ay ' ■••

lizi f s — a À-^i f z — a

Le long de c' on a

dz H \,

= Ao 4- A^t -f- A,J'- +..

ay-