JM,^.,i,=

2rà I z — a — t "Ir.i

^ ' mdz + \, j {z-a)f{z)ch

En se reportant aux formules (12) et (13), on trouve enfin

= ^Kt'-

Cette formule fait connaître le développement d'une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel.

IS4. Nous pouvons maintenant résumer les résultats acquis au n° 120 et qui concernent l'intégrale

oîi Z est un polynôme de degré m en ^ ; les racines a^, a^...a,n de Z sont supposées distinctes.

Si m est supérieur à 4, les infinis de la fonction Z, c'est-à-dire les valeurs u^ de u qui rendent Z inQnie, sont des points de branchement pour Z.

Si m = 3 ou 4, les points u^ sont des pôles de Z, simples si m,^= ht, doubles si m = 3, et Z est une fonction méromorphe.

Si m = 2 ou 1, la fonction Z est holomorphe dans tout le plan,

1S6. PÉRIODES DES FONCTIONS INVERSES DES INTEGRALES HYPE- RELLIPTIQUES.

Marquons dans le plan les points Aj, Aj.-.A,,,, dont lesaffixes sontai, «2. ..«,„, et joignons les à l'origine par des lignes droites.

Désignons par A^, Aj... les valeurs de l'intégrale hyperelliptique comptées en ligae droite de 0 aux points précédents, et obtenues toutes en partant de la même détermination initiale de\/Z:

Ces intégrales sont finies, malgré la présence d'un dernier élément infini dans le coefficient différentiel (n° 17). Si l'affixe décrit autour de Aj un cercle de rayon infiniment petit, l'intégrale prise le long de ce cercle est elle-même infiniment petite en vertu des mêmes considérations ; seulement dans ce circuit, le radical a changé de signe avec le facteur \l z — a^ de sorte qu'un lacet composé de la droite OA,, d'un cercle de rayon infiniment petit décrit autour de A; et de la droite A^O aura pour valeur

et il est bon de remarquer que le sens dans lequel on tourne autour de Aj est indifîérent.

Cela posé, soit M un point quelconque et z son affîxe;

désignons par u^ l'intégrale

comptée en ligne droite de

0 à M et par u la même intégrale prise le long d'un autre chemin quelconque OBM ayant les mêmes extrémités. Il s'agit de trouver une relation entre u et u^.

FiG. 9

Supposons, pour fixer les idées, qu'entre la droite OM et la courbe OBM, se trouvent trois points critiques Ap A^, A^. Le

168 CHAPITRE m

circuit OBM pourra être remplacé par le chemin OAiOA20A30M indiqué sur la Cgure par des flèches, à condition que le point décrivant ait toujours à sa gauche la région qui renferme les points critiques ; entre nos deux circuits, il ne reste aucun point critique. Les deux circuits sont donc équivalents, et l'on peut écrire

OAiOAoOAoOM

La première intégrale du dernier memhre a été calculée plus haut et a pour valeur 2Ai ; quant à la deuxième, comme elle est prise avec la valeur initiale de v^Z égale et de signe contraire à celle qui a servi à nos définitions, sa valeur est — ^A^ et, après le circuit autour de Ag, v^Z a repris sa valeur initiale; la troisième intégrale a donc pour valeur 2A3, et pour la môme raison, la dernière aura pour valeur — u,^, de sorte qu'on a

u =3 2Ai — 2A2 -1- 2A3 — iff^,

et, plus généralement, si l'on appelle A; le nombre des points critiques compris entre la droite OM et le chemin OBM,

,, = 2Aj - 2A, + ... +(— iy'-i2A, + ( - 1)X-

On pourra d'ailleurs tourner un nombre quelconque de fois autour de chaque point critique de sorte qu'on aura finalement

u =z 2miA^ -+- 2m^A.^ -f ... -)- 'ImiJ^k =t Wq ('^^)

Ainsi, à une même valeur de z correspondent une infinité de valeurs distinctes de u. Introduisons de nouvelles constantes,

2co, = 2A. -2A,

2ox. =. 2A„ - 2A., , ^^^.^

Il est à remarquer qu'une différence quelconque 2Ai — 2A/, pourra toujours s'évaluer linéairement en fonction des nouvelles constantes. D'ailleurs écrivons la formule (15) comme il suit :

îc = 2mi(A, — A,) + 2(mi + ?n.,) (A^ — A3) )

-+-2(mi+m,+W3)(A3— AJ + ...-h2(?^i-hm2 + ...-f-?îiA— 1) > (17) (A/,i — ~A/, -f- 2(^1 -h mj -1- ... -+- m;,)Ak ± Wq î )

dans celte formule le coefficient de Ak sera zéro ou un suivant les cas. Si l'on tient compte de (16), l'on pourra écrire

w = 2m'iw, -^ 2m>, + ... -h 2m',co, -^- 2s A, -4- ( — l)^^ (18)

les quantités ni'.^, tit!^... étant des nombres arbitraires positifs ou négatifs, mais entiers ou nuls ; £ peut être nul ou égal à l'unité. La formule (18) fait connaître toutes les valeurs de l'intégrale qui correspondent à une même valeur de z. Le même fait peut s'exprimer autrement en effectuant l'inversion, c'est-à-dire en considérant z comme fonction delà variable ii : lorsque u passe par toutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires, la fonction z repasse périodiquement par les mêmes valeurs et l'on a

z = f{u) = f{u -+- 2/?i'jWj -h 2m'2W2 H- ... 2w'm iW,„.i) = /'(2A/, — ic -\- 2m\Wi H- ...).

Les quantités 2o)j, 2^^^... sont appelées les /jer/o^e^^ de la fonction z. Si m = 3, il y a deux périodes, et la fonction est dite doublement périodique. Si m = 4, il semble y avoir trois périodes distinctes ; mais nous avons déjà vu (n° 45) que, par une transformation birationnelle, on ramène toujours le cas de m= 2k à celui de m = 2/i; — 1. Et d'ailleurs il suffit d'intégrer le long d'un cercle de rayon infini pour voir que dans ce cas il existe une relation linéaire entre les périodes. En efïet,

comme le produit - X -;= tend vers zéro pour | ^ | = ^ , l'intégrale en question a pour valeur zéro (n° 112) ; d'ailleurs cette ntégrale équi /aut aux m = 2k lacets, .ou plus exactement à

170 CHAPITRE m

l'intégrale obtenue de la manière suivante : le contour d'intégration sera un chemin fermé composé de OA^ (côté droit), d'un cercle de rayon infiniment petit décrit autour de A,), de A^O (côté gauche), de OA2 (côté droit) et ainsi de suite, de manière que ce chemin fermé englobe tous les points critiques et qu'il n'en reste aucun entre ce contour et le cercle de rayon infini. On aura alors

0 = 2Ai - 2k, -+ 2A3 — 2A, + ... + 2k,k-x — 2A, ou

2lOj -+- 2CO3 -h ... -h 20J,„.j r=0.

Ainsi, dans le cas de m ■= 4, il n'y a encore que deux périodes indépendantes et la fonction Z est encore doublement périodique.

Usage des intégrales îmagiiiaîres pour le calcul de quelques intégrales réelles

im. L'intégration d'une fonction de variables imaginaires est souvent le moyen le plus simple d'obtenir des intégrales définies réelles.

Voici comment l'on opère : soit à calculer, « et Z> étant réelles ainsi que x,

On considère^ dans le plan des œy, un contour formé de la portion de droite ox qui va de « à 6 et d'une courbe ou ligne brisée retournant de 6 à « ; si l'on sait évaluer l'intégrale suivant les portions du contour autres que la droite ah^ il en résultera nécessairement la valeur de I. La plupart du temps on pourra faire figurer dans le contour un cercle, ou un demi cercle^ ou un quart de cercle de rayon infini, et l'intégrale e

long de cette portion du contour se trouvera nulle en vertu du théorème démontré au n°113. D'autre part en isolant les points critiques, qui se trouvent dans la région limitée, par des petits cercles ou des portions de cercles ayant ces points pour centres, on pourra appliquer les théorèmes relatils aux fonctions uniformes, et ramener l'intégrale le long du contour total à celle le long des petits cercles.

Soient alors «, b... /les pôles de la fonction dans la région limitée par notre contour ; A, B,... L les résidus relatifs à ces pôles. La fonction, dans le voisinage du pôle a par exemple, pourra se mettre sous la forme

les valeurs de a étant entières, positives ou négatives, mais différentes de — 1. On en conclut :

f{z)ds = A log (^ — a) 4- 2j-

FiG. 10

et par suite, pour l'intégration prise le long du cercle («) parcouru dans le sens direct.

f{s)dz = 2-iA,

puisque tous les termes du second membre, sauf le premier, reprennent leur valeur initiale.

172 CHAPITRE m

Enfin, pour l'intégrale le long de C, comme elle peut être remplacée par la somme des intégrales le long des petits cercles autour des pôles (n° 108), on aura

f{z.)dz. = 2Td{k + B + ... + L) (19)

c'est-à-dire que Vintègrale d'une fonction méromorphe, prise le long d'un contour fermé C parcouru dans le sens positif, est égale à 2rù multiplié par la sonune des résidus de cette fonction relatifs aux pôles situés à l'intérieur du contour C. Ce théorème est connu sous le nom de théorème des résidus.

1S8. Comme application, nous considérerons l'intégrale

cp(^)D log f{z)dz,

dans laquelle '^{z) est une fonction holomorphe à l'intérieur du contour, tandis que f{z) est méromorphe. Le coefficient difïérentiel ne peut donc avoir pour pôles que les zéros ou les pôles de f{z); soit a l'un d'eux. On aura, en désignant par Q{z) une fonction holomorphe dans le voisinage de a

la deuxième intégrale est nulle le long du cercle y de rayon très petit décrit autour de a, parce qu'à l'intérieur de ce cercle (^{z) et 0(5) soiit holomorphes. La première intégrale a pour valeur 2-Ki multipliée par le résidu relatif au pôle a,

savoir m^{a). En étendant ce résultat à tous les pôles et à tous les zéros, on trouve

^(^)D log t{z)dz = 2rdY,mo{a).

Dans cette formule m est positif si a est un zéro, et négatif si c'est un pôle. En séparant les zéros y.,, et les pôles py, on a finalement

Comme cas particuliers, aous signalerons celui où cp(^) = z et celui où of^z) = i ; on trouve ainsi que, à l'intérieur cVun contour C, V excès de la somme des zéros sur la soynme des pôles comptés chacun autant de fois que Vindique leur degré

de multiplicité a pour valeur ^— : J ^ D log f[z)dz.

V ma, - V ,, p^. = L. / . Ç^ a, . (20)

et aussi que V excès du nombre des zéros sur le no?nbre des pôles, à Vintérieur du même contour C, a pour valeur

2rà / f^z) '-'

^m -^n =. ^. (^ dz ^ (21)

Considérons par exemple un polynôme algébrique

et prenons pour contour d'intégration C un cercle de rayon infini. Comme il n'y a pas de pôles^ le premier membre de (21) donne le nombre des racines de f{z) ; quant au second membre, on peut écrire

1 étant une expression dont le module est inférieur à tout nombre fixé t^ dès que s est suffisamment grand. On a donc

j^ c^^=^[log z\, -h

Le premier terme du deuxième membre a pour valeur 27rî^, et le second est inférieur à "liiir^, c'est-à-dire tend vers zéro avec T). Par conséquent :

c'est-à-dire que le nombre des racines d'une équation algébrique est égal au degré de V équation. Ce théorème est du à Dalembert ; la démonstration est de Cauchy.

1S9. Nous allons appliquer la même méthode au calcul de quelques intégrales fréquemment employées. Soit d'abord

Ces deux intégrales sont bien définies. Nous allons déduire leur valeur de celle de