I:^ / ^! — \'^^.^JL

En particulier, pour p = 5, on aura

dx

(1 + 0?) s/cc '0

comme il est facile de le vérifier directement en posant a; = 2/^

POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULÉRIENNES

131. Nous nous occuperons dans ce chapitre de deux espèces de fonctions auxquelles nous appliquerons les règles établies dans le chapitre précédent, mais sur lesquelles, vu leur importance, nous croyons utile de donner quelques détails complémentaires.

133. On désigne sous le nom àQ polynômes de Legendre ou fonctions X„ les coefficients du développement de

(1 — 2(ix -+- o?) 2 suivant les puissances ascendantes de a.

(1 2a^ + a^)"^ = Xo -i- X,a + X^a^ +... + X„a» +... (1)

Nous rencontrerons fréquemment ces polynômes et nous allons en donner ici quelques propriétés.

IL Xi = X.

IIL X„ est un polynôme entier en x de degré n. En effet posons

T = a2 — 2ax = a(a — 2x), i

le développement de (1 — 2ad; + a^) '^ s'écrira

(i+T)-j=i-|T+yçH-...H-(-./-:^-f=±)^:-..„

iSO CHAPITRE IV

avec

Pour que P fournisse un terme en «", il faudra que k soit au moins égal à ^ et au plus à ?i ; prenons dans T'' le terme général

pour que l'exposant de a égale ?i, il faut prendre l'exposant;? de,2' égal k2k — n; cette valeur est comprise entre zéro et n, ce qui établit la troisième propriété.

Le lecteur vérifiera sans peine que

en prenant dans le développement de {x- — l)"le terme en x^^ et en le dérivant n fois.

IV. Il résulte de la forme qui vient d'être donnée à X„ que F équation X„ = 0 a toutes ses racines réelles^ distinctes et comprises entre — i et -{- i. En effet l'équation

a n racines égales à 1 et n égales à — 1 ; sa dérivée a [n — 1) racines égales à h- 1, n — 1 égales à — 1 et une (nulle,) comprise entre — 1 et + 1 ; la dérivée seconde aura n — 2 racines égales à -H ï, n — 2 égales à — 1, une entre zéro et -I- 1, une entre zéro et — 1, et ainsi de suite en appliquant de proche en proche le théorème de Rolle. f