VI. X„(-l) = (-l)". -l
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNWS 181
11 suffit pour établir ces deux propriétés de voir que, pour
i a; — 1 ou — 1 , (1 — 2a^ H- a2) '- devient
VU. Posons
d'où
y' -= 2nx{x- — l)"-\ 2w.r2/ — (x^ — l)?y' = 0.
En prenant ?i fois de suite la dérivée des deux membres daas cette dernière équation et appliquant à cet efîet la formule de Leibnitz (tome I, n° 88), on trouve
n{n -h l)y(") — 2^;//" + *) — [af- — !)?/(« + 2) = 0. ou, en multipliant par 2".?z !,
C'est une relation entre X„ et ses deux premières dérivées.
VIII. On peut encore trouver une relation récurrente entre trois fonctions X„ successives. Revenant à l'égalité de définition (1), difïérentions-la par rapport à a ; nous trouvons
■ {ce — a){l — 2oix + ^)~^ = V nX„a"-i.
Multiplions les deux membres de celte égalité par 1 — 2aa; + a^
i et remplaçons ensuite dans le premier (1 — 2^j.x + a^) ^ par
sa valeur V X„a", nous obtenons l'identité
(a; — a) 2 ^>^«" = (1 — 2aa7 + a') 2 ^^X«*"~''
d'où l'on déduit aisément en comparant les termes en a" :
(n 4- 1)X„ y. j — {2n -h l)xX,, + nXn-i = 0. (4)
Cette égalité permet de calculer X„ , ^ connaissant X^ et X„ ^ , c'est-à-dire de proche en proche toutes ces fonctions puisque nous avons donné X^ et Xj, Elle montre aussi que les racines de la fonction X„ donnent des signes contraires aux deux fonctions qui l'encadrent.
/+ i /^+ i X,nX,id.x =^ 0 si m^n, 1 Xn^dx ^= - — - — j-.
1 tJ 1
En effet, en intégrant par parties plusieurs fois de suite, on aura, y ayant la même définition que ci-dessus (VII),
= yi^)ij{'^-^) — 2/(" +!)?/('" -2) -h / t/^+^)y("'-^)da)
Si m est inférieur à n, ce qu'on peut supposer, toutes les dérivées t/( '"-*), î/("'-2)... sont nulles pour a? = ± 1 ; la (w H- 1)'^""® et les suivantes sont nulles identiquement, ce qui démontre la première formule énoncée.
Si m = 71, soit k = n — 1, on aura
i/'')y(n)dx = (-— ly j i/-''hjdx
= (— if{2n)\ i {x^- — \ydx.
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 183
En considérant x^- — i comme le produit de x — 1 par ^ -+- 1, et en intégrant n fois par parties, on trouve aisément
y{nh/n)clx = (n If ^^^^
Or
donc enfin
Xndx
X. Le polynôme X» peut se mettre sous forme de déterminant. On peut se reporter par exemple au n° 249. M. Rouché a également donné la forme (G. R tome LXVII)
1 ce. .œ"
dans laquelle M est un coefficient numérique,
L±Â=zAÏ
Nous n'aurons pas à utiliser ces résultats purement théoriques.
133. Nous allons enfin appliquer les principes qui ont été établis dans ce chapitre au problème suivant : mettre X„ sous la forme d'une intégrale définie. A cet effet nous intégrerons la fonction
fi^)
(n entier positif
{x eiz quantités complexes)
le long d'un cercle (y), de rayon infiniment petit, aj^ant l'origine pour centre. Cette intégrale a pour valeur le résidu de f(^z) multiplié par 2tcï, c'est-à-dire en se reportant à la formule (1), 27I^■X„ ; on a donc
