Dans l'intégrale précédente, faisons
en appelant (C) un cercle de rayon infini concentrique auprécédenl, nous obtenons la nouvelle expression
Pour évaluer cette intégrale, nous remarquerons que le dénominateur s'annule pour
t = ce ± \/x^ — 1',
soit aux points a et a! . Entourons chacun de ces points d'un cercle infiniment petit et faisons une coupure par une droite unissant ces deux points; dans la région isolée par cette coupure, la fonction sera uniforme. En effet si le point / tourne autour de a, il devra en même temps tourner autour de a' et le radical aura changé deux fois de signe ; la fonction aura donc repris la valeur qu'elle avait au départ.
On peut donc, les points critiques étant isolés, remplacer l'intégrale le long du cercle C par une intégrale le long du chemin suivant : circonférence «, hord supérieur de la coupure, circonférence a', bord inférieur de la coupure. Les intégrales le long des deux petites circonférences sont nulles en vertu de la remarque faite au n° 113; les intégrales le long des deux
POLYNOMES DE LEGEiNDRE — FONCTIONS EULERIENNES \So
bords de la coupure sont égales : car, si le radical a changé de signe en tournant autour de a', par exemple, û^^prend en reve-
FiG. 13
nant le long de a'a des valeurs égales et des signes contraires à celles qu'il avait le long de aa', de sorte qu'on a finalement
\U'' — 2lx^ 1
dt^2
s/t^ — 2tx-\-\
cit.
Pour évaluer cette dernière intégrale nous ferons le ctiangeifient de variables suivant
t =1 œ -\' V'V- — 1 cos o,
d'où
dt = — v/^"^ — "1 sin o d^, et il suffira de faire varier o de 0 à t :
^t' — 2te -h 1
di = i I {x + v/^" — 1 oos (f)"do.
La fonction X„ a enfin la forme
Çoc -1- ^X" — 1 cos o)"d'^.
car c'est le signe -H qu'on doit prendre comme on le volt en taisant x= l.
135. Les mêmes considérations auraient permis d'évaluer l'intégrale sous la forme (6) ; mais une difficulté se serait présentée, tenant à ce que le second membre de l'égalité (6) est discontinu tandis que le premier est continu, accident qui ne s'était pas rencontré dans le n° précédent. Nous allons lever cette difficulté, à titre d'exercice, et pour montrer comment l'on devra opérer dans des cas analogues.
Nous isolerons, comme précédemment {fig. 13) les points {a) et [a') par une coupure et par deux petits cercles : soit k le contour ainsi formé, soit c la circonférence de rayon infini, Y celle de rayon infiniment petit ayant pour centre l'origine. Nous aurons
ou, comme zf{z) tend vers zéro pour ^ = oo et que X„ = /
ty.
Posons encore
xr =1 œ .-h \/x^ — 1 cos cp clz = — \/cc^ — 1 sin cfrf© ;
nous obtenons X„ sous la forme d'une intégrale définie ordinaire.
1 cos (f)''"
Dans cette formule, faisons x = l ; comme X,î(1) = 1 et que le second membre devient ± 1, il faudra prendre le signe -h .
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 187
Faisons au contraire co = — 1, le premier membre devient X„(— 1) = ( — 1)" et le second d= ( — 1)« + ^ ; il faut donc prendre le sio^ne — . Ainsi, il n'est pas possible de fixer, une fois pour toutes, le signe ambigu dans la formule (8) : mais alors quelle rèo'le suivre? Remarquons que le dénominateur ne peut s'an-
nuler que si -yzztî ^^^ ^'^^^> positif, et < i, ce qui exige que x
soitpiirementimaginaire. Apartcelalafonction / ^ . =
est continue : le second membre de (8) gardera donc un signe constant à droite de l'axe des imaginaires ijy', et un signe constant à gauche. Ces signes étant connus aux points dz 1, on voit que le second membre de (8) devra être pris avec le signe -I- , si la partie réelle de x est positive, et avec le signe — , si elle est négative. D'ailleurs, si x est purement imaginaire, l'intégrale n'est pas déterminée.
Formule de Lagraiige
136. — Les polynômes de Legendre se retrouvent comme application d'une formule très importante due à Lagrange et dont la démonstration a été l'objet de nombreux travaux. Le problème consiste à développer en série l'une des racines de l'équation en z
M. Rouché (*) a appris à distinguer nettement la racine développée en série et à préciser les conditions de convergence de son développement. Sa démonstration ne fait pas intervenir le calcul intégral ; celle que nous donnons ici, n'en diffère par aucun point essentiel et présente une très intéressante application de la formule du n° 127.
(*) Rouché. ^ Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXIX^ caliier.
Supposons que f{S) soit de la forme
il(s) étant holomorphe, œ un point intérieur au contour C et a une constante ; m sera positif, et la formule (9) s'écrira
Or, si l'on suppose la constante a de module assez petit
pour que yT:7j soit développable en série à l'intérieur du contour C, c'est à-dire pour qu'on ait
on pourra écrire
• — co — ai]^(xr) z — X (3- — x) Par suite la formule (10) devient
OU, en appliquant les formules (6) du chapitre précédent
La dérivée qui figure dans le second membre est la somme des deux suivantes
dx
POLYNOMES DE LEGENDRE — FONCTIONS EULÉRIENNES 189
Il faudra donner à n les valeurs 0, 1, 2...., et ajouter; le coefficient de a« sera ainsi
et l'on aura finalement^ en revenant à la formule (11),
CO
1 = 2 m'^ia) = ^iœ) + ^ £? i^-l | ^'(^^^) ['H^O]" | (12)
Il résulte de cette fornaule deux conséquences 1° Supposons o{x) = 1, le second membre prend la valeur 1; par suite m qui indique le degré de multiplicité de la racine a, égale un et l'on a ce théorème : si 4'(z) est une fonction holomorphe à l'intérieur du contour C, si x est un point intérieur à ce contour et si a est une constante telle c[ue pour tous les points du domaine C on ait
ïèquation
a une racine et une seule, a, à F intérieur de ce contour.
2"* La valeur de toute fonction holomorphe o[z) dans le même contour est donnée, au poitit a, par la formule (12) que nous transcrivons à nouveau
En particulier, on aura
