Comme première application nous rappellerons, sans
y insister, l'application de la formule de Lagrange à la célèbre équation qui relie l'anomalie excentrique z à l'anomalie moyenne x. 11 suffit de faire ^J;(3^) = sin ^ ; on a alors, en désignant par e Texcentricité de l'orbite, à résoudre l'équation
z :=^ X -h e sin z,
dans laquelle il faut supposer
et la solution est
^ = a^ + e sin «7 -+- ^ sin 2œ +...-+- —, ^^^r^i sin^a; -h... ;
le module de z — x est inférieur à 1,19967864,
Le rayon vecteur de la planète, 1 — e cos z, est alors obtenu en appliquant la formule (12). On trouve ainsi
1 — ecos z=[ — ecos^H- 7- siiro? -{-...-
1 {?i —1)! dx''-
138. Comme deuxième application, nous développerons en série la plus petite racine de l'équation.
a et a; étant des nombres réels compris entre h- 1 et — 1. Cette racine, toujours réelle, est
1 V/I — 2aa; H- a^ ,.
le radical s'annule pour
a = j; — i \/i — os'^,
c'est-à-dire pour deux valeurs dont le module est un.
Le développement suivant les puissances de a sera donc
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 191
valable à rintérieur d'un cercle de rayon un ; la formule de Lagrange donne immédiatement
x^ — 1 a" cP'-
n ! dx^'
Si maintenant on dérive par rapport à x les deux membres de cette équation, après avoir remplacé préalablement z par sa valeur tirée de (13), on trouve
- == =r 1 + aa? -h...-t- -—T T— (a?2 — 1)" +...,
^1 27.06 H- a2 ^''n . cW
ce qui montre immédiatement que les fonctions de Legendre^ définies au n° 131, ont pour valeurs
Retour sur les i^roduits iufinis
138. Nous allons revenir sur ces produits, que nous avons déjà considérés au n° 170 (tome I). Nous supposerons maintenant que les facteurs peuvent être imaginaires. Soit
Un =!-+-«„
on suppose
«n = ttn H- ib„ = p„(cos 9„ H- z sin ç„).
On démontrera, comme au n° cité, que a„ doit tendre vers zéro, et l'on remplacera encore l'étude du produit P„ par celle de son logarithme. Seulement la formule (32) du n° 170 n'étant plus applicable, il faudrait modifier le raisonnement.
Nous n'étudierons que les produits absolument convergents ;, la série
2 log (1 + a„),
sera donc absolument convergente, et tout revient à chercher à quelles conditions il en sera ainsi.
Remarquons d'abord que
log(l -h a„)ii= log (l H- p„ cos ç„ + ?p„ sin t5„) = ^ log [ 1 -h p;i-l-2p„ cos (f„J
[. a„ sin ca,, ,. ^ ~|
arctang y~— ~ H -^n"^ '■> ^ 1 + p„ cos Y,z J
on pourra toujours supposer Targument o„ choisi de manière que dans l'égalité précédente kn = Q, c'est-à-dire de manière que log (1 -h a„) tende vers zéro en même temps que a,j. Dans
ces conditions le rapport Vn == -^^- -—-"^ tendra vers l'unité, %i la série ^log (1 H- a„) sera absolument convergente en
même temps que la série "V a„ dont le terme général ne diffère
de la précédente que par le facteur Vn qui a un module fini. Ainsi pour que le produit P„ tende absolument vers une limite finie^ non nulle^ il faut et il suffit que la série
soit absolument convergente.
Le produit étant absolument convergent, on pourra intervertir l'ordre des facteurs.
140. Les conditions précédentes s'étendent évidemment aux produits qui sont infinis dans les deux sens. C'est ainsi que le produit
"^t^ ce
n'est pas absolument convergent parce que la série X - est divergente, tandis que le produit
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 193
est absolument convergent parce que la série
est absolument convergente ; en effet le produit par n- du terme général de cette série tend vers la quantité finie — ^ pour n = oc .
141. Comme application nous donnerons le développement de sin x en produit infini. Soit m un nombre impair ; on démontre dans tous les traités de trigonométrie que sin ?nx peut s'exprimer par un polynôme en sin œ dont lesdifférenles
racines sont les valeurs que prend sin -" pour m valeurs consé
cutives entières de k. On peut, par exemple, poser
p=Asina: siniv — sin — sin>r — sm -
\ m/ \ VI /
îm — ( sin .€-+- sin —
