Le produit TT ( ^ — ) qui n'est pas absolument
convergent, ainsi qu'il a été dit, donne lieu à d'intéressantes considérations. Posons
et prenons la dérivée logarithmique des deux membres ; nou» obtenons l'égalité
n n »n^ ni
^ ax — p.- ^ [i ^ \J.X -H [J-^ ZmÀ]}.^ 1 11 1
La première et la troisième sommes convergent évidemment vers des limites finies pour n et m infinis ; la deuxième et la quatrième, qui se confondent avec la série harmonique^
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 197
croissent au-delà de toute limite. Mais leur différence reste finie : soit m = w» et
V 1 V i Nous remarquons que
* = / x^'-'dx\
donc
1=1 (1 4- .T? -h ... + x"')d.:c — I (l 4- .r -h ... -h co»)dcc
' 1 cc'^n r 1 ^« r x'^—x""' ,
Pour évaluer cette inte'grale, Hermite pose ce qui donne
ce = l ,
11 s'agit de trouver, si elle existe, la limite de X pour n = oc :
lim A = I ds.
Or la Hérivée de celte intégrale par rapport à w est
on a donc, pour l'intégrale cherchée,
(/-^ = los; w -h constante.
La constante est nulle comme on le voit en faisant w = 1 ; il reste enfin
lim À =: log w.
La dérivée logarithmique du produit considéré dépend donc de oj, et par suite le produit lui-même dépend du lien qu'on, établira entre m et n. Si m = n, to = 1, log w r= 0, on a
'Il ri
<^'{x) ^ / OG ce \ \"^ 2œ
et par suite, (n^ 143)
lim -^— ( := lim >, -g 5 = ^ cot -Kii- ;
ou, en remontant des dérivées logarithmiques aux nombres^
-j-co
sin T.x
Si enfin ou suppose m = om, w restant quelconque, on. aura, pour m et n infinis,
lim Tix Yl^ (1 — ■") = "'' ^^^ '^''''' — m
Il importe de remarquer que, pour 0) = 1,1e premier membre est une fonction périodique de période 2, tandis que, si w demeure quelconque, le premier membre se trouve multiplié par w^ lorsqu'on change a; en ^ 4- 2.
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 190
145. Des considérations analogues pourraient ôtre développe'es relativement aux produits infinis à double entrée de la forme
Il en résulterait de nouvelles fonctions qui sont multipliées par une exponentielle lorsque œ s'accroît de a ou de 6, l'exponentielle de'pendant d'ailleurs de la loi suivant laquelle sont reliés m et n. Mais ces considérations nous entraîneraient trop loin et nous ne pouvons que renvoyer le lecteur à un Mc'moire publié par M. Gayley dans le Journal de Lionville, tome X.
Fondions Eulériennes
146. — On appelle fonction eulérienne de deuxième espèce, et l'on désigne par la notation v{z), la fonction
^(-i= 1'"^ .(^,if '(C^ ir (20)
Cette définition ne distingue pas le réel de l'imaginaire ; mais nous n'envisagerons généralement que les valeurs relies de z.
141. — Il faut d'abord chercher les conditions de convergence de l'expression qui sert à définir t{s). Il est évident que si z est nul ou égal à un entier négatif la fraction devient infinie pour une valeur de n. Je dis qu'elle a une limite finie pour toute autre valeur de ^. En effet l'on a
log r(^) = log 2 -h log 3 -h ... -I- log [n — 1) + log n -\- {z — 1) log n — log ^ — log {z H- 1) — ... — log {z -\-n — 1)
ou
log^ + logr(:r) = ^logn — log(5- +-1) — Iog(l-i-^)... J
Remplaçons, avec Gauss, log n par
log r -^ lO? ;t -h log g 4- ... + log
Jg y -^ '"S 2 "^ ''^ 3 "^ - "^ * n— i' l'égalité précédente devient
log.^r(3) = [.-log2-log(1-+-^)] + [^log|-log(-l-i-0J + ...
H- [. log ^:^ - log (l + ^-,-)]
= 2[-^'og(l + -^)-log(l+£)J
en écrivant p au lieu de n — i .
Or
= ^log(l+i)-log(l+|)
donc
II" m ^2 w^, = z(.s — 1).
La série est donc absolument convergente et par suite .zT(c.) est bien définie pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z autres que zéro ou les nombres entiers négatifs.
Propriétés des fonctions Eulérîennes tic deuxième
cs|ièce
