V. Revenons à la formule (22), et donnons h s les p valeurs

ô, .), ^...-^y — ; on trouve immédiatement

^f !\ 1.3.5...(2p — 1) /- ,.-,ft^

VI. Nous donnerons enfin l'expression de T{z) par une intégrale définie. A cet effet nous invoquerons de nouveau le théorème suivant que nous avons déjà utilisé (n° 69) : Si, dans deux séries divergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable, le rapport des coefficients de la puissance m'"'"® de la variable tend vers une limite finie /, les deux séries ont le même rapport.

Les deux séries que nous envisagerons ici sont

f[x) = i'-Kv ~\- 2'-^œ^ -+- S^-'aj^* -h...

qui sont divergentes pour ;r >■ 0 et lim a? = 1.

Le rapport des coefficients de x'' est la fonction désignée jusqu'ici par (^{n, z) ; nous avons, donc, en supposant a? === oo ,

r(.~) = lim ^{71, z) = lim ^

= Hin [l^-^^^ -h 2'-Kv^ -f- ...] (1 — cg)'.

Soit X = e-'' ; on pourra écrire

POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EELERIENNES

Lorsque x tend vers un^ h tend vers zéro ; le premier facteur tend vers l'unité. Quant au produit du crochet par A,

il tend, par définition, vers

^e-'dûo. On a donc

'dx.

Cette égalité est souvent prise pour définition de la fonction eulérienne de deuxième espèce. On en déduirait sans peine les propriétés déjà démontrées ; nous laissons au lecteur le soin de faire cet exercice facile.

149. En résumé, la formule (22), qui permet de diminuer l'argument d'une unité et par suite d'autant d'unités qu'on le voudra, permettra de ramener :; à être compris entre 0 et 1 ; à l'aide de la formule (23), on ramènera z à être compris entre

0 et ij, et il suffira d'avoir une table des valeurs de cette fonc-

lion pour les valeurs de l'argument comprises entre ces deux dernières limites.

Nous n'entreprendrons pas l'étude détaillée des procédés par lesquels on est arrivé à construire cette table. Bornons-nous à représenter par une courbe la variation de y{x) pour x variant de 0 à oo .

FiG. 14

204 CIIAriTRE IV

Le minimum de T(co), qui est égal à 0,8836032, correspond à

L'égalité

montre que r(œ) =: co pour x infiniment voisin de zéro. On déduit aussi de la formule (22) la suivante

l\.r + p) = (./; + jo — 1) (^ -I- p — 2) ... .>.T(^0'

d'où il résulte immédiatement que l'iatégrale eulérienne de deuxième espèce est infinie en même temps que l'argument. Le lecteur conclura d'ailleurs du n° suivant que log r(/) ne peut avoir qu'un minimum puisque sa dérivée seconde est essentiellement positive. Il en est de même de r(./;).

1 50. La formule (21) logr(5) = lim ^logn— loge— Iog(;+l)— ...— log/lH-^^^^j ,

conduit à des conséquences d'une autre nature sur lesquelles nous allons maintenant nous étendre.

En dérivant deux fois les deux membres on trouve

log n-~- ^-^^ - ... - jznr^rij '

D, log r(.^) = lim [1 + -^j±j^, -H ... + ^— :p^J-:::rTp] •

Cette dernière série est absolument convergente, on peut donc l'intégrer entre zéro et im et écrire

^) = D log r(.^)

POLYNOMES DE LKGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 20:i

D log r(-) se présente maintenant sous la forme d'une série absolument convergente, car elle a pour terme général

La constante C, qui se présente dans un grand nombre de problèmes, a reçu le nom de constante d'Euler et a pour valeur

il résulte de la formule (28) qu'elle peut s'exprimer de la manière suivante

Comme on a

on a

mais cette formule est incommode pour le calcul de C et c'est autrement (voir par exemple Serret^ tome II, n'^ 522) qu'a été obtenue la valeur (29). On peut encore mettre cette constante C sous une autre forme en se reportant à la première expression de D log z donnée dans ce numéro. Si en effet on y fait - = 1, on trouve

-r'(l) = C= lim (l +^4- J^-1-...-t-i-logn).

Dans l'égalité (28), changeons ^ en s + 1 : il vient

D log \\z 4- 1) = C -^ (*- J-Tl) + (^ - JT^) -+-••• + (^ - 7^:-^) + -

Intégrons entre les limites 0 et ^ ; nous obtenons l'égalité

^^s f(7Vr)=^^ -^ ^-' -^ tiog(^^ -!-■ i)--^]+---+[iog- +^^)-f]

= Gz + [log (z + 1) - ^1 -4- ... H- [log (l + 0 - ^] + ...,

les deux membres s'annulant maintenant pour :^ = 0. On déduit de là

Le dernier produit est absolument convergent, ainsi que nous Favons déjà vu ; la fonction yr^ , d 6st donc liolomorphe dans tout le plan.