Euler a établi la formule
r(.)r(^ + i) ... r(.^ -i- ^) = (2.)'^-^ n— + 1 r(n^). (31) Pour la démontrer, formons d'une part le produit
dont le premier membre de (31) est la limite pour p = oo , d'autre part le produit
qui, pour p = oo , devient n-«=r(nî). Le quotient de ces deux produits
(p !y^n''^i' + ^ [np) ! p~^
est indépendant de z ; tout revient donc à chercher la limite de
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 207
cette fraction pour p intîni, ou encore, ce qui est préférable, à calculer la valeur du quotient précédent pour une valeur particulière de z. Nous ferons :? = 1 et nous calculerons
Le dénominateur a pour valeur n—''{n — 1) ! ; le numérateur équivaut, à cause de la formule (22) à
irfi)x?r(2\ ?l--lir(?.'^
n \nl n \n n \ n
Or on a (formule 24)
sin —
ni \ n J . 27C sm —
tij . (n — 1) TT ' sm i ^ —
d'où en multipliant ces égalités, membre à membre, et tenant compte de la valeur, du produit calculée au n" 68
\nj \ n ) V 7z2'-«"
Finalement on aura
Q = ^ r- r- 2 2 7 T--i = (271) 2 ns'
^"~ ni (w — 1)! ^ ^
ce qui démontre entièrement la formule (31).
Signalons en passant la formule, que nous venons de rencontrer,
1513. La formule précédente permet d'évaluer une intégrale définie célèbre
1=1 log Y(oj)doo.
On a en effet, par définition, si nh = 1
I = lim [A log T h -h h iog r(2/0 -+- ... 4- A log r(nh)]
^- log 2Tr — ^ log n ^ = lim — -^^î =: fi loff 271
ou enfin
log r(j;)c?a; = log \^2t.
On démontrerait d'une manière analogue la formule de Raabe
log T(o:^dœ = a (log a — 1)4- log ^2tz. a
Formule de Stîrliiig-
153. L'objet de cette formule est d'és^aluer, d'une manière approchée, la fonction v {n-\-i)=nl. Signalons d'abord un premier procédé très rapide. Nous désignerons par E{x) le plus grand entier inférieur à ^ de sorte que, par exemple, la fonction discontinue -^ aura pour valeurs successives, suivant
POLYNOMES DE LEGENDRE — FONCTIONS EULERIENNES 209
12 3 que la partie entière de ce sera i, 2, 3 etc, -, -. - etc. La définition que nous avons donnée de l'intégrale définie n'exclut
a donc une signification très nette, et Ton peut écrire immédiatement en appliquant les formules les plus élémentaires :
=: log 2 -h 2(log 3 — log 2) -H ... -h ?î [log (/2, + 1) — log n] = il log (n 4-1) — ■ log n I
Prenons comme valeur approchée de E(^) la quantité .V — ;> qui n'en diffère jamais de plus d'une demi unité. L'inté-
gfale / '[ 2 dx a pour valeur ?î — 9 log (n — 1) et cette
Ji ' ^
valeur peut être prise comme valeur approchée de
^ Cl..
On en déduit que
log n! ou log r(;i -{- 1)
diffère peu de
(n + 2-^log(îH- 1)— îi.
I5d. Mais cette méthode rapide à l'inconvénient de ne donner aucune idée de l'approximation avec laquelle la dernière expression permet d'évaluer log Y[n -1- 1). Nous'allons exposer une méthode qui permet de serrer le problème de plus près
Calcul im'ikitésimal ^*
et qui a été donnée pour la première fois par M. Rouché (C.R.1890).
La relation bien connue (1. n° 162 form. 41)
log (n -f- 1) — log n = n r 1 -h 'tt-, Tn I ?
où n désigne un nombre entier positif quelconque, et 6 un nombre compris entre 0 et 1, peut s'écrire
12n(n H- 1) Elle devient
2 j [log {n-\- 1) — log wj..
quand on pose
On conclut de là
log cp(w) >> log œ(w -i- 1),
et
log ^{n) - ^ < log ^{n 4- 1) - ï2(7iqrT),'
en d'autres termes, des deux fonctions
tp(w), cp(w)e *^",
la première est décroissante et la seconde croissante, lorsque l'entier n croît. Si donc on désigne par p un nombre entier positif quelconque, on a les inégalités
ç>(n)e 1^" < tf(w -I- p)e '2(« + p) ^
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 2ii
que l'on peut remplacer par l'égalité
cp(w -i- p) e ^ ' ^ ■'
dans laquelle G^, de'signe un nombre compris entre 0 et 1.
Il est bien aisé de déduire de cette relation la formule célèbre de Stirling pour l'évaluation approchée du produit 1.2.3...« lorsque n est un grand nombre.
En effet, la relation (34), appliquée au cas où n est égal kp, montre immédiatement que le rapport
a pour limite l'unité, lorsque;? croit indéfiniment. On a donc, pour/) = "=c ,
limo(p)=:iim?||^, (35)
ou, d'après (33),
limo(p) = lim^^/4. p 3. 3.^ ... ^—^. ^^4-j, (36)
et enfin, en vertu du théorème de Wallis,
lim cp(p) =z /2^ (a?)
Dès lors si dans la formule (34) on laisse ?i fixe en faisant croître p indéfiniment, on obtient
v/2ti
c'est-à-dire d'après la définition de ®(w),
