n = v/2Tt«n"e-"ei
C'est la formule de Stirling, qui donne deux limites
entre lesquelles est compris le produit 1.2.3...?^. On peut récrire en prenant les logarithmes
log T{n -^ 1) = (^n 4- 2 j log n — « H- ^ log 2- -f- jy- . (30)
Le dernier terme tend vers zéro quand n croît à l'infini ; l'ensemble de ceux qui le précèdent constitue donc une valeur asympiotique de log r(« + 1). Cette valeur dilTère peu de celle que nous avons donnée à la fin du numéro précédent.
155. Kn réalité, la formule de Stirling est plus complète en ce qu'elle donne une expression du terme complémentaire
Si l'on écrit le développement en série
i 1 ± , jPl. r2 - '>'*• -4- -+- f \\n—^ £2 'ïi2n ,
les nombres B^, B. ... sont appelés nombres de Bernouilli. Ils ont pour valeurs
Dj — 7., Da — on» "3 — 19' °* — ÔTÎ
Cela posé, le terme complémentail'e do la formule de
POLYNOMES DE LEGliNDRE — FONCTIONS EULERIENNES 213
Stirling, donné en premier lieu par Euler dans le cas de n entier, est-
R ï^i Ai^ + ( 1).-1 __«,. L.
a- r— iV'O — — JVlj L
avec
Nous renverrons le lecteur, pour la démonstration, à l'ouvrage déjà cité de J. Bertrand.
La série, qui représente li,i, est divergente si/? croit à l'infini;
mais limitée comme nous l'avons fait, elle fournit bien une
expression qui tend vers zéro pour ji = ce • H }' aura lieu,
dans chaque cas, de choisir la valeur de p la plus avantageuse.
Dans sa thèse, M. Bourguet a démontré qu'il convient de
s'arrêter au rang p pour lequel p est le plus grand entier
inférieur à -n -+- -, 4- rn — .
Fonctions eulérîennes de première espèce
156, On appelle fonction eulérienne de première espèce et on désigne par la notation B{p, q) la fonction de deux arguments
^{j),q)= I xv-\\—xyi-'dx. (40)
Cette fonction est symétrique par rapport aux lettres p et q, comme on le voit en posant a; = 1 — ?/. On peut encore l'écrire
en remplaçant x par j-
i^(^' ^I) = \ ,. 1...... dx, (41)
OU encore
Bij3, ^7) = 2 / sin^ï-'io cos-^^-^toc^o), (41 &is)
en posant a? = cos^w.
15T. Intégrons le deuxièine membre par parties ; nous obtenons la nouvelle forme
d'où l'on déduit, en écrivant [1 — (1 — œ)] xv-"^ au lieu de cg^',
De même
^p,q - 1) = ^--"-^-2 Kv.q - 2)
d'ot
ou
Celte formule permettra de ramener le calcul d'une fonction B(;?,^) quelconque à celui d'une fonction où q serait compris entre zéro et un. On pourra de même réduire p à être entre zéro et un.
158. Supposons maintenant ^entier, et faisons dans la formule précédente k =-- q — 2 ; elle devient
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 213
On voit directement que
B(îvi) = p;
donc
Si de plus p est aussi entier, cette formule peut s'écrire
et elle est ainsi mise sous une forme symétrique par rapport aux deux arguments.
1 59. V intégrale de première espèce dégénère dans celle de deuxième espèce si q devient infini. Pour le voir, revenons à la formule (42) où p est supposé quelconque ; remplaçons ^{p,q) par l'intégrale qui lui sert de définition et dans cette
intégrale, écrivons - au lieu de x. Nous obtenons la nouvelle
égalité.
I \ qJ p{p -h l)...{p-h q — i)
On peut maintenant supposer q infini ; le premier membre tend vers r(p), ce qui démontre la proposition énoncée, à savoir que
lim B(p,q) = T(p).
Mais la démonstration montre en outre, de nouveau, que l'on a
œi'-^e—'''dx= lim —, ^.0^ ~ — ^— j^.
160. Le lien entre les intégrales eulériennes des deux espèces est d'ailleurs beaucoup plus complet. Toute intégrale de première espèce s'exprime rationnellement en fonction tVintégrales de deuxième espèce.
Voici comment se démontre ce théorème : posons dans l'identité (27),
elle devient
r(-) = ?«= I y--^ e~'"'"Jdii
ce que nous écrirons
Après avoir signalé en passant cette importante formule qui permet de remplacer l'inverse d'une puissance par une intégrale définie, nous la mettrons sous la forme
-. L___^^ i — ^ / yv-^'i'^e-('+-)ydv
(1 -h xy + '1 \\p -i- q) -^
<:e qui permet d'écrire la formule (41),
B(;p,q) =z j ^'---^^d.v I yP + 'i-^e-i'+'-yodi/
ou^ en intervertissant l'ordre des intégrations^
POLYNOMES DE LEGENDRE FONCTIONS EULERIENNES 21?
Or la formule (43) nous montre que
I ccr-^e-^nidy = '^-
on a donc
B(P,5') - r(^^- / y^-'e-vdy
c'est-à-dire
BOM) = îM) (44)
I6t. Cette égalité va nous permettre de retrouver un certain nombre de résultats déjà obtenus autrement. Supposons
La formule (44) devient
D'autre part la formule (41) donne, dans la même hypothèse,
or l'on a vu n» (129) que
fjx z=. —.
