i- ce sin pi
Donc
^' ^ ^^ sin pr.
En particulier si /7 = ^^ , on a
Table des logarithmes de \{\ -^ x)
162. Nous n'avons jusqu'à présent utilisé, comme mode de représentation des fonctions, que les séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable. Les fonctions qui sont susceptibles de ce mode de représentation sont dites fondions analytiques . Mais il existe bien d'autres manières de représenter une fonction, même en se limitant au procédé du développement en série ; les difîérenfs termes de la série peuvent être des fonctions trigonométriques, des polynômes, ou même des fonctions transcendantes plus compliquées. Les fonctions ainsi représentées pourront être analytiques ou non, être, ou non, continues, avoir ou ne pas avoir des dérivées etc. On aperçoit ainsi de nouveaux principes de classification des fonctions; on entrevoit un domaine illimité ouvert à l'analyse, domaine qui commence à peine à être exploré et où nous n'aurons garde de retenir le lecteur. Nous nous bornerons dans ce chapitre aux séries de sinus et de cosinus, ne donnant de celte étude que ce qui est strictement utile pour les applications.
163. C'est Fourier qui a le premier affirmé qu'on pouvait représenter toute fonction f{x], pour des valeurs de x comprises entre zéro et 2-^, par un développement de la forme
m = co f[x) =: «y 4- ^ («,;iCOs mx 4- h,n^m mx) (1)
m étant un nombre entier positif.
Admettant, pour un instant, cette possibilité, nous allons déterminer les coelficients «o, «„,, h,,,.. A cette effet, nous remarquerons que, des formules de trigonométrie qui permettent de transformer un produit en somme, on déduit immédiatement les identités suivantes.
cos moc sin poxix = 0
/ COS mo) cos pxdx = j sin mœ sin pxdx = 0 si m ;z£p 0 t/O
co?>^mxdx = I sinhnxdx := •k.
0 Jo
Cela posé, multiplions successsivement les deux membres de l't'galité (1) 1° par dœ, 2° par cos mxdx, 3° par sin mxdx, et, dans chaque cas, intégrons de zéro à 2t.. Nous trouverons successivement
f{x)dx = 2T:ao '0
I f{x) cos mxdx = TMm ) (2)
I f{^) s*^ mxdx = Tb„
et ces égalités résolvent le problème. On trouve ainsi Tégalité, purement formelle jusqu'à présent
f[x) = ^ y f(x) dx-^z^ cos mx j /"(a) cos Wiac?a
-^sin ma? / /"(a) sin mac?«
dans laquelle nous avons écrit a au lieu de x dans les intégrales.
164. 11 est indispensable de remarquer que la marche qui vient d'être suivie ne suppose nullement la fonction continue ; il suffit qu'elle soit intégrable. Par exemple la série de Fourier représentera parfaitement une fonction qui serait égale à x entre zéio et tt et h. x'^ entre zéro et 1t.. L'on voit ainsi quel intérêt elle présente pour l'ingénieur qui rencontre rarement des fonctions analytiques pouvant rendre compte d'une manière satisfaisante de tous les phénomènes observés, même dans un domaine assez restreint.
D'ailleurs la limitation aux valeurs 0 et 1t. n'est qu'apparente. Si, en effet, on a besoin de représenter une fonction entre les valeurs « et 6 de x^ on fera la substitution
les limites correspondantes pour y seront zéro et 2tt.
165. Pour donner au moins un exemple, considérons le développement de ^ que nous avons utilisé au n° 69. Ici on a
oc cos moLclci
H- I ~ sin mv 1 — g^— / sin moLclix. ■= L Jo V. 0
1 I ■ ~2^^ cos tnx I 271 m ~^ 2
COS mv-dy. = — — m
On a donc, pour x compris entre zéro et I-k,
03 T. sin a? sin %c sin mrc
166. Dans le développement précédent, ou plutôt dan& celui qu'on en déduit pour-r — x^ ne figurent que des sinus. It en sera de même toutes les fois que la fonction f{pc) changera de signe, sans changer de valeur, par le changement de x en %: — X, En effet soit
a = 2- — ?/ ; on en tire
I f{oi.) cos madci = — I f(rj) cos mijdy, ou
/"(a) COS ?/^ac?x = 0
De même si f{x) n'est pas altérée par le changement de x en 2r — x^ on aura
/■(a) sin miA'-j. ■=■ — / /"(?/) sin niydy
2 / /(a) sin mar^a = 0,
et ce seront les sinus qui disparaîtront dans le développement.
167. On peut même aller plus loin et se proposer de représenter une fonction quelconque, soit par une série de sinus, soit par une série de cosinus. Soit en effet la fonction f{x)
qu'il s'agit de représenter ; nous supposerons cette fonction définie entre 0 et r, et nous considérons la fonction auxiliaire îp(a:) définie par les conditions suivantes :
tp(^) = f{x) pour 0 << ^ ■< '^, o(27r — x) = f{x) pour T. <:^cc <^ 2-.
D'après ce qui précède on aura
o[x) == ^ I ^{'3.)dn H — ^ cos m:c S o(a) cos myilx. Jo 1 t/o
Mais on a, pour les deux intégrales
Donc enfin, entre 0 et n,
f{'^) = - I /(a)c?3t H- - V cos J?2.-<7 / /(a) cos Waf/a, (5)
Si l'on veut exprimer f{x), en série de sinus, on posera
o(x) = /"(ce) pour 0 << J7 << -, cp(2'n — ce) = — f{oc) pour T. <^x <^2-.
et l'on trouvera sans peine
f{œ) = - ^ sin mec 1 /(a) sîn madfa. (6)
168, Jusqu'ici nous avons supposé que le second membre de la formule (3) représentait bien fix). L'étude des conditions pour qu'il en soit effectivement ainsi est des plus délicates, et
22i CHAPITRE V
nous ne pouvons songer même à énumérer tous les théorèmes énonçant des conditions suflisantes. Voici les plus usuelles : elles sont connues sous le nom de comlitioiis de Dirichlet : si la fonction o[x) reste fiaie et continue pour toutes les valeurs de x {sauf peut-être pour qw^ques-unes) et n'a qiiun nombre limité de maxima et de mininia dans V intervalle considéré (*), la série de Fourierapour valeur ^ \^f{x -t- 0) -h f{x — 0) i .
Si donc X n'est pas un point de disconlinuilé, la valeur est bien f{x).
Nous donnerons la démonstralion de ce théorème (n°s 168 à 171), bien qu'elle soit un peu longue ; el'e peut d'ailleurs être passée sans inconvénient à une première lecture. Dé-ignons
par - cp(a?) la somme des termes de la série, arrêtée au multiple
(*) Il existe des fonctions qui ne remplissent celte condition dans aucun intervalle. Voici, par exemple, une fonction si^'nalée par M. Darboux dans son mémoire sur les 'onctions discontinue^ (Annales Ec. Norm. 1875) auqu»^! nous avons ffiit de fréquents emprunis. Soit E(.ï) le plus grand entier contenu dans x,
«1 *+ «2 + ••• + an-\- ... = A, une série absolument convergente. La série.
est uniformément convergente et discontinue dans tout intervalle. Que la série soit absolument convergenie, cela résulte de ce que M!?£.) est
inférieur à un. Soit alors a; =^,p et ? étant entiers. Comme, pour a entier, on a E(a + 0) = a et E(a — 0) = a — 1 , ou aura
La fonction f{x) est donc discontinue pour toutes les valeurs commensurables de a;.
yx de X. Comme l'on peut faire entrer le facteur cos mx ou le facteur sin mx sous le signe Y , on aura
(cos mx cos 111% + sin mx si cos ?>^(.^' — a)
n ?na) j c^a,
Or on sait que
sin -^ (a: — a)
T^ H- COS (a; — a) -h ... H- cos p(a- — a) = . (7)
On aura donc
sin -—-^ — [x — a)
À sin
et tout revient à chercher la limite de ©(a;), si elle existe, lorsque p croit à l'infini.
169. 11 y a deux cas à considérer suivant que x est compris entre 0 et In ou est égal à une de ces limites. 1° Soit
Nous pouvons écrire
La première de ces intégrales peut être transformée en posant
Calcul infinitésimal
226 CHAriTRE V
d'où
dans la deuxième inté;2,"rale, nous ferons
elle devient ainsi
2° Soit L'intégrale s'écrit
Jo - '"' 2 ^^ ^ ''" 2
Dans la première, nous poserons a = y et dans la deuxième = 2- — 2ij. Nous aurons ainsi
' ^ -'■ sin î/ '^
3° Si enfin x = 2t., nous décomposerons encore ï)(2-k)
-h / ; remplaçant dans la première a par 2Ti — 2y,
dans la deuxième, a par 2y, nous obtiendrons cp(2îi:) sous la même forme que cp(0), de sorte qu'en résumé, quel que soit^, <p(a;) se présente toujours sous la forme d'une somme de deux intégrales telles que
1= / ^(y) !LîU2^1li)i/ ^y,
la limite supérieure a étant inférieure ou au plus égale à tt.
170. Il reste à voir si I a une limite lorsque p croît à l'infini. Nous considérons d'abord le cas particulier, où i|>(j/) = 1 et a = t:. L'intégrale à calculer
ou, en revenant à la forme (8),
s'obtient immédiatement grâce à l'identité (7). On trouve
Supposons maintenant que la fonction '}(//) soit continue et ne croisse jamais dans riatervalle de zéro à a ; on peut alors la supposer positive en l'augmentant au besoin d'une constante G suffisamment grande, ce qui revient, d'après ce qui
précède (form. 11), à augmenter l'intégrale de C.cj. Appelons r le plus grand multiple de ^s~-\ inférieur à a que nous sup-
poserons lui-même inférieur à 2- Nous mettrons I sous la forme
2p + 1 5ij3 + 1 2p + 1
et nous raisonnerons absolument comme au n° 70.
Chacune de ces intégrales est inférieure en valeur absolue à la précédente, et de signe contraire : en etTet, posons
Nous obtenons l'identité
*yw.
^^•^^ sin y "^
'îpTl , ^ ^ sin (2p -I- \)xi ,
(m — i)Tî. \-^ 2jo -+- 1 /
ip+ i Or on a, par suite de nos hj-pothèses,
donc la seconde intégrale est certainement inférieure à
^^^ ' sin ;/ -^
Quant à celle qui a pour limite supérieure «, elle estévidem-
(r + 1)TC
ment inférieure à / . I se présente donc sous la forme
2p + 1 d'une série de termes alternativement positifs et négatifs, et décroissants,
\ = u^ — %(,, 4- î^,^ + ... 4- ( \yHi,n -\- ... -^ e(— ïyur (12) Cela s'applique si 'l[y) = 1 et l'on a aussi
(m + l)it
sin y •'
Si 1 on désigne par M^ le maximum de -^(t/) et par m^, le minimum lorsque y est compris entre r, -j et t^ , j? on aura
wi/,v/, < i«/, < Mi-i'/o
et par suite, comme pour m == oo , lim y„i = 0, on aura aussi lim u,n = 0. I a donc une limite finie et déterminée. En remplaçant alternativement dans (12) les termes par leur maximum et par leur minimum, on a
1 < Mo-^o — m^v^ + M^u, — m.^v\ -h ... )
I>7Wot'o — Mi^i +^2^2 — M3V3 H- ... S ^ ^
Mais, comme (|;(y) ne croît jamais, on a
Mo > ^0 > Mj > mj... > Mi > m^....
Le second membre de la deuxième inégalité (14) est donc supérieur à
m^{v^ — V,) -H w?,(u^ — V3) -+-...-+ m^^lv.j, — v^u + j) et, à plus forte raison à
le second membre de la première inégalité (14) est inférieur à
Mq^o — m.p, — v^) — w,Xi'o — V,)...
et, « fortiori, à
Mo^o — ^^^sA-Cî'i — t'a + ..•)•
OU à
(Mo — 7n^^)v, -h m„lv, — v, -h v^ — v,. 4- ••.) (16)
Lorsque le nombre des termes croit à l'infini, le multiplicateur de m^j^ dans les expressions (15) et (16) tend vers ^
(form. 12). Or, l'on peut s'arranger de manière que m^^. tende vers Mo, lorsque 2Â; croît à l'infini ; il suffit de supposer que
2A:tt
2A' croit comme v/2p h- 1, alors lim ^ ^ = 0, et dans Fin-
^(2Ji + i)'TC
tégrale I les deux limites tendent vers zéro ; les
^ 2kT.
valeurs de ^y) dans cette intervalle tendent donc toutes vers '\i{0), comme celle de l'intervalle 0 à wrilTl • Seulement
comme >j>(z/) pourrait être discontinue pour y =t 0, nous distinguerons la limite du côté de 2/ > 0 de celle du côté de ?/ < 0 par les deux notations <];(+ 0) et <]>{ — 0). Finalement, les deux expressions (15) et (16) tendent vers
et comme elles comprennent I, on a, pour p infini,
liml=^4(+0). (17)
SÉRIES DE rOURlER SERIES DE POLYNOMES 23i
17:1. Nous avons dû, dans le courant de la démonstration, introduire certaines restrictions que nous allons lever.
D'abord, si la fonction >\{y) n'allait jamais en décroissant entre o et h, la fonction — '^dj) n'irait jamais en croissant et on pourrait lui appliquer la démonstration précédente, qui convient par suite à '^{y).
Nous allons nous affranchir maintenir de cette condition de variation dans un sens déterminé. Pour cela, une remarque
préliminaire sera utile. Soit b <C a <^ ^; on a :
li™ / «,)^â-^rfj/ = 0 (18)
pour^ = oc ; car l'intégrale est la différence de deux intégrales
qui tendent l'une et l'autre vers ^ <\i(-h 0). Gela posé, si ^{y) a
un nombre fmi de maxima et de minima entre 0 et a, il suffira de partager l'intervalle total en intervalles dans chacun desquels '\'{y] ait un sens de variation déterminé ; dans tous ces intervalles l'intégrale sera nulle (form. 18), sauf dans celui qui a pour limite inférieure zéro où la limite sera encore
Il ne reste plus qu'à dépasser la limite supérieure^. Soit donc « >■ ^ ; nous écrirons :
Dans cette dernière intégrale, remplaçons y par tz — z \ elle devient
, . sin (2/5 -H \)z ,
Un — z) w— -'- dz,
'^ ' sin ^
et d'après la formule (18), elle a pour valeur zéro, tant que a n'est pas égal à tt. Dans ce dernier cas, et dans ce cas seulement, elle a pour limite ^{ii — 0) ; en résumé, si a -< ii:, on a
et, si a = iT,
li-" / 'Ky)^^^^-^i,y-^^^^ = i[4'(+0)+^(u-0)]. (20)
172. Appliquons les résultats des deux numéros précédents à la fonction ©(a?) fournie par la série de Fourier (form. 8), Si X est différent des limites o ou 27t, le § 1° du numéro 169, nous montre qu'on aura
?(^) = i lA^^ - 0) -f- /-(^ -H 0)]. ■ (21)
Si a? == 0 ou 27:, le § 2" du même numéro nous donne (form. 10)
¥(0) = |[Ah-0) + /(2.-0)]. (22)
et le même résultat pour cp(27r).
Si enfin l'on se rappelle que nous avons désigné la série do
Fourier (n° 167) par - tf(^), on voit que le développement de f{cc) aura pour expression
* \^f[oc — 0) + f{x +0)] si O < 5? < TT.
SÉRIES DE FOUIUER — SERIES DE POLYNOMES 233
et
2 [/■(-+- 0)-t-r(2T:-0)] si a> = 0 ou 2t:.
Donc, si pour la valeur considérée de x, f{x) est continue, c'est-à-dire si f{x — 0) = f{x -+- 0), la fonction sera représentée par la série de Fourier, bien entendu sous les réserves formulées dans l'énoncé du n° 167 : il en sera de même aux limites, si, de plus, /(O) = /■(27t).
173. Il y a bien d'autres cas où la série de Fourier peut représenter une fonction donnée. Ainsi ■i^{y) pourrait devenir infini pour y ^=i y^^k condition de conserver un signe constant de chaque coté de y^ et dans le voisinage de t/^, et aussi à condition que
fût bien déterminée. Mais nous n'entrerons pas dans l'examen de tous les cas qui peuvent se présenter; nous ne rechercherons pas non plus si la série de Fourier est toujours uniformément convergente, comme il a fallu le supposer pour déterminer les coefficients. Nous nous bornerons à énoncer qu'il en est bien ainsi dans tous les intervalles où ne se trouve pas de point de discontinuité.
174. Pour donner un exemple de fonction discontinue représentée par une série de Fourier, imaginons un triangle isocèle OCA et un point M se mouvant sur la ligne brisée formée par les côtés égaux OC et CA. La fonction que nous voulons envisager est la distance du point M à la base OA. Nous supposerons que la base ait pour longueur 2-k ot nous appellerons h la hauteur du triangle ; les axes de coordonnées seront la base, Oj:, et la perpendiculaire, ^y, à l'extrémité 0 de cette base. Le côté OC a pour équation
et le côté CA.
Donc la série de Fouiier.
«0 H- a^ cos .r H- ... -H (Ira cos VldJ -+- ... -1- &j sin c€ -\- ... -\- b,n sin w.'': H- ...
devra avoir pour valeur - o: entre 0 et z, et - (2~ — oc) entre t: et 2-.
Or les formules (2^ donnent
f f{.x)dx= j f{x)dcc 4- / /(ic)(/iK^ 0 «-^ Jt.
~ œdx -\- \ - (2- — x)dx
-Tzh ' çy, h 3tt2
On aurait encore pu remarquer que, si l'on pose
