y, on a

/■(.>;)r/.v = / f{2r. - y)dy.

En appliquant cette formule à la seconde intégrale qui figure dans Oq, on trouve

- (2ir — x)dx = / -- 2/(3??/ = / - X(fa7,

SERIES DE FOURIER — SERIES DE POLYNOMES 23o

De même

- (2-n: — x) ces mxdx

1 h j 2//(— 1)- — 1 / - X ces mxdx = — ^ -i, ;

Donc la fonction discontinue que nous avons définie a pour expression

h Ah I cos "ix cos 5.>- \ ,.,.i>

. ^cos .07 -h -j3— -+- -p h...j. (23)

175. M. Hû^^yitz (C. R. 18 février 1901) a fait un heureux emploi de la série de Fourier pour démontrer ce théorème bien connu : « Entre toutes les figures planes isopérimétres, le cercle a l'aire maximum. » Nous donnons ici cette démonstration très simple qui suppose seulement la possibilité de développer les coordonnées d'un point en séries trigonométriques, hypothèse de même ordre que celle, faite si souvent implicitement, qui consiste à supposer les fonctions développables en séries de Taylor.

Soit G la courbe donnée, s son arc compté à partir d'une origine arbitraire ; l'unité de longueur est choisie de manière que la longueur de la courbe soit 2-71. Les coordonnées x ei y d'un point de la courbe sont des fonctions continues de 5 ; ce sont des fonctions qui admettent la période 2tt: et que nous supposerons développables en séries trigonométriques

oj = y^ (a„ cos ns -i- a'„ sin ns),

y = ^ (&„ cos 7is H- b'n sin ns).

Si l'on appelle F l'aire de la courbe C, on aura

as

En remplaçant a; et di/ par leurs valeurs et intégrant, on voit que les termes qui proviennent de deux valeurs différentes de n disparaissent dans l'intégration et qu'il reste seulement

F = T: 2 »i"nb'r. - «'«&.)• (24)

De même, en intégrant de o à 2tt les deux membres de l'identité

'={sy -(!)'.

on trouve