TT 2 («' H- «? + bn + &,r

En retranchant membre à membre les égalités (24) et (25), on obtient l'identité

2f- F^ = V K'^' - ^) («" -+- <^ -^ ^' + ^^^ ^^'^ ^ ' "^{-^ n[{an - b:T- -H («: H- Kf] i'

d'où résulte le théorème. En effet, le deuxième membre étant essentiellement positif, Faire F est inférieure ou au plus égale à l'aire r. du cercle dont le périmètre est 2^. Si F = TT, il faut que, pour n >> 1, l'on ait

pour w = 1, on a

et la courbe a pour équations

a; = «Q -H a^ cos ns — b^ sin ns, y = hf^ -{- by cos ns + a, sin ns,

d'où Ton déduit

c'est bien l'équation d'un cercle.

Séries de polynômes

176. Nous avons dit qu'il existe bien d'autres manières de représenter une fonction. Sans vouloir insister longuement sur ce sujet, nous montrerons que les polynômes de Legendre se prêtent fort bien à la représentation d'une fonction quelconque. Ce sont les propriétés IX, établies au n° 131, que nous utiliserons ici, savoir

Posons

f{x) = A,X, + AiX, 4- ... H- A,X, F- ... (27j

Multipliant les deux membres de cette égalité par Xodx et intégrant de — 1 à -{- 1 , nous trouvons, à cause des identités (26),

De même, en multipliant par Updœ les deux membres de (27), et intégrant entre les mêmes limites, nous trouvons

171. L'étude de la série (27) nous entraînerait beaucoup trop loin; nous nous bornerons donc à énoncer les résultats suivants dont la plupart sont dus à M. Darboux (Approximation des fonctions de grands nombres. Â?î7i. Ec. norm. 1878). Pour n très grand, on peut, si x est réel et compris entre — 1 et -i- 1, prendre comme valeur approchée de X,2 l'expression connue de Laplace

n \in grand que 1 , on pose

l'erreur étant de l'ordre de — -r=.\ si x est imaginaire ou plus

^ = oj -\- \lx^ — 1 ,

le signe du radical étant choisi de manière que le module de ; soit supérieur à 1 : l'on trouve alors comme valeur approchée

de X„

p demeurant une quantité finie lorsque, ^ restant fixe, n croit indétlniment.

Une fonction ne peut être développable en série de polynômes de Legendre que si les intégrales (29) ont un sens et

que si, au cas où la fonction deviendrait infinie pour ,27 = i 1 ,

elle est infinie d'ordre inférieur à ^.

178. M. Darboux a étendu son étude aux polynômes de Jacobi définis par l'égalité.

in = F(a 4- 71, — nri,x)

dans laquelle F désigae le symbole connu de la série hyper-

SERIES UE FÛURIER SERIES DE POLYNOMES 239

géométrique, et même à des polynômes P^, P^, ... P„ quelconques de degrés 0, l, ... n pour lesquels il existe une fonction f{x) telle que

Jh

toutes les fois que m est différent de n. Nous ne suivrons pas l'éminent géomètre dans cette étude; il nous sufQt d'avoir laissé entrevoir au lecteur que les modes de représentation des fonctions sont en nombre infini et qu'il peut parfois y avoir intérêt à ne pas rester exclusivement dans le domaine de la série de Taylor. On pourra lire aussi avec profit un Mémoire de M. Appell « Sur une classe de polynômes » [Annales de l'Ecole normale 1880). D'ailleurs ce problème a été récemment l'objet d'importants travaux. M. Painlevé {Comptes- Rendus de l'Académie des Sciences 1898 et 1899) et M. Mittag- LefQer [Acta Mathematica, tome 24) ont étudié la représentation des fonctions analytiques par des séries de polynômes; enfin M. Emile Borel {Lerons sur les séries divergentes, 1901) a repris le même problème et considéré des séries de polynômes représentant des fonctions non analytiques.

liNTEGRALES DOUBLES

179. De môme que l'évaluation des aires a conduit à la notion d'intégrale, de même la mesure des volumes a donné naissance à un nouvel être mathématique qui a reçu le nom à'intégrale double. Proposons-nous d'évaluer le volume V limité par une portion S de surface arrêtée à un contour G, par le cylindre qui projette G sur un plan donné que nous

FiG, 15

prendrons comme plan des xy et enfm par le plan des xy. Soit r la projection de G, A l'aire de r ; nous supposerons que S se projette tout entière à l'intérieur de r et que les peipendi-

INTEGRALES DOUBLES 241.

culaires au plan des xy menées par les points de Faire A ne rencontrent S qu'en un point. L'axe des z est supposé perpendiculaire au plan des xy.

Pour évaluer le volume V, nous prendrons dans A un petit élément aj de surface ; cet élément peut être considéré comme la base d'un C54indre parallèle à oz et limité à S. Le volume V sera la somme des volumes troncocylindriques qui ont pour bases tous les éléments o-j de Faire A. Evaluons un de ces volumes : soit Mi un point de la surface S projeté en un point do ff;, et soit ti sa distance au plan des xy ; ce volume aura sensiblement pour expression

Si maintenant on appelle zi et Z; la plus petite et la plus grande des valeurs de t-, pour l'élément a„ on aura

<Ji2-,- < Cr;Çj < CTjZj,

et Fon pourra afQrmer que Ferreur commise en prenant pour expression du volume élémentaire considéré ajCj est inférieur à

Le volume V aura pour expression approchée

avec une erreur inférieure à

ou, en appelant -/) la plus grande des diflérences Z, — z-,, ù

Si Fon suppose que Faire A soit décomposée en éléments a-; de plus en plus petits, la somme Sa^Çi aura pour limite le volume V considéré^ Ferreur Ay] tendant vers zéro. On aura ainsi

V = lim 2^^^;. (1)

Calcul infinitésimal 16

180. Débarrassées de toute représentation géométrique, les considérations précédentes reviennent à ceci : soit g un élément d'une aire plane A, t l'ordonnée (parallèle à oz) d'un point de <y, la somme

SaÇ, (2)

étendue à tous les éléments défaire A, a, sous certaines conditions évidentes de continuité, une limite que nous appellerons une intégrale double. Nous venons de parler de conditions de continuité ; il est évident, en effet, que si, pour un nombre infini d'éléments cr^, Voscillaiion, Ta — ^j, que nous avons rencontrée dans le numéro précédent, ne tendait pas vers zéro avec Tj, ou si, en quelques points, cette différence était infinie, il ne serait plus possible d'affirmer que l'expression Ay) tend vers zéro ni que la somme (2) a une limite. Nous exclurons de notre analyse ces cas de discontinuité et nous supposerons que les fonctions considérées par nous sont intégrables. S'il nous arrive d'admettre des fonctions discontinues, une élude spéciale sera nécessaire.

181. Supposons la projection nii du point M, définie par ses coordonnées rectangulaires ocu yi\ Casera une fonction continue de ces coordonnées, fixi-, yt), et l'on pourra prendre pour élément de surface s un rectangle dont les côtés seront parallèles aux axes de coordonnée. Si l'on appelle œu, yu les coordonnées du sommet nii, de ce rectangle opposé à rrii, l'aire u aura pour expression.

{Xk — X) (ij^ — y,)

et l'intégrale sera la limite de l'expression

2/0. y) i^k — Xi) {yu — yd ; nous la désignerons par lu notation

I = ^f{oG, y)dxd[[. (3)

Mais il ne faut pas que l'empli piématuré de la nolalinn différonlielle inlroduibe de conlubioi) : les deux dillé. eiuielles

INTEGRALES DOUBLES

dx. et dy sont jusqu'à présent inséparables et ne figurent que par leur produit.

182. Si, au lieu de coordonnées cartésiennes, nous avions pris, pour déterminer la position du point w„ des coordonnées polaires, p^, lo,, l'ordonnée Ç^ aurait été une fonction o(p,-, oj/jdes nouvelles coordonnées, l'élément de surface aurait eu pour expression

et l'intégrale aurait eu pour valeur

lim2ç(pi,Wi)p;(p/, — p,) (W;, — Wj) = S(f(p^io)po?pd^to (4)

Ici, comme dans le n° précédent, il faut donner aux deux coordonnées une succession de valeurs telles que l'aire A soit entièrement couverte par les éléments de surface a. A la vérité, sur les contours de A, il arrivera que les rectangles moriu définis au n° 180 puissent sortir de A, ou laisser des portions