F 10. IG

infiniment petites de A en dehors de la somme effectuée ; mais, à la limite, ces éléments négligés ou surabondants disparaîtront si l'on n'a pas afTaire aux fondions ou aux contours exceptionnels que nous avons exclus de notre analyse.

183. L évaluation d'une iniégrale double se ramène à celle de deux intégrales ordinaires. — Nous nous servirons encore

de la représentation géométrique pour présenter la démonstration de ce théorème. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'évaluer l'intégrale (3)

Sf{x,ij)docdy :

d'après la définition, nous devons considérer le rectangle mimk et faire correspondre à ce rectangle l'élément d'intégrale

f{:Vi,yi) [o^k — ^r^ {iju — yi), ■ ;; fc

puis faire la somme de tous ces éléments pour tous les rectangles qui remplissent l'aire A. Supposons d'abord a-i et xi, constants et faisons varier ?/; depuis y' = pm' jusqu'à?/" = pm"; la somme de tous les éléments d'intégrale double ainsi obtenus aura pour limite, par définition,

f{xuy]dy ou dvi j f[xi.y)dy. ij "- y' '

Si maintenant on fait varier Xi de sa valeur minimum a à sa valeur minimum h, et qu'on effectue la sommation, on aura

/^ n-y dx j f{.v.y)dij. (5)

Il est clair qu'en appelant c et cl les valeurs minimum et maximum de y, et x' , x!' les deux valeurs limites de x qui correspondent à une valeur de z/, on trouverait aussi aisément

'&f{x,y)dxdy = j dy / f(x,y)do:. (6)

IJNTEGRALES DOUBLES

On aurait de même

Scp(p,to)pc/pO?(0 ==: 1 do l cp(p,w)prfc)

îfîo

= j dm j tf(p,oj)p(^p

184. La démonstration qui précède suppose essentiellement que l'aire fermée A est convexe. Mais le cas contraire ne peut pre'senter aucune difficulté ; par exemple^si le contour de l'aire A

offre la disposition suivante, à toute valeur OP de l'abscisse comprise entre OA et OB, correspondront quatre valeurs y' , y\ y" y y"" de l'ordonnée {y' <y"<y"' <y""), et dans la formule (3) il faudra remplacer l'intégrale

f{x,y)dy,

par la somme

f{x,y)dy -{- j f{x,y)dy,

tant que x sera compris entre OA et OB