Soit par exemple à évaluer le volume du tétraèdre
FiG. iH
compris entre les trois plans de coordonnées et le plan ABC dont l'équation est
Be cette dernière équation, on tire
et le volume cherche a pour expression
V = Scfi -^ — fjdxdy.
Pour une valeur donnée de x, y varie de zéro à y' == PQ ; quant à x, il faudra le faire varier de 0 à a. En appliquant la formule (o), on aura donc
V= / dx. / ,(,£-»W;
or, X étant considéré comme constante dans la seconde intégrale, on a
^-Tjy
d'autre part, à cause de l'équation de AB, ,' = 6(l-f).
Le volume V se ramène donc à l'intégrale simple
186. Comme deuxième exemple, cherchons à évaluer le volume qui reste lorsqu'on enlève du volume d'une sphère la portion comprise à l'intérieur de deux cylindres de révolution à axes parallèles, tangents entre eux le long d'un diamètre de la sphère et tangents à la sphère.
FiG. 19
Nous prendrons, comme axe des z, le diamètre de la sphère suivant lequel se touchent les deux cjdindres, comme origine des coordonnées le centre de la sphère ; un des cylindres aura pour base dans le plan des xi/ une circonférence passant par 0 et tangente en A à la section de la sphère par le même plan xoi/ et il est évident qu'il suffit d'évaluer la portion du volume demandé comprise dans le trièdre oxyz ; en multipliant par 8 ce volume parliel, on aura le volume cherché. En désignant par p et w des coor-données polaires dans le plan des œy, ox étant l'axe polaire, les coordonnées d'un point Q de la sphère seront ^, p et w et l'on aura
R désignant le rayon de la sphère.
Le volume à évaluer sera donné par l'intégrale double (formule 7)
On voit en effet que, pour une valeur donnée de co, p varie de OM = p' àON = R. Or
d'autre part
p' = R cos w On a donc
et pour le volume total
INTEGRALES DOUBLtS 249
Il est remarquable que ce volume soit indépendant du nombre -k.
Théorèmes sur l'ordre des in léar allons
187. Il résulte des formules (3) et (6), comme aussi des formules (7) que, si l'on a à effectuer deux intégrations successives, on peut interverti]' Vordre des intégrations :
dx j f{.:c, y)dy = j dy f{ct\ yYx (8)
Les deux membres sont égaux parce qu'ils représentent tous les deux l'intégrale double
S/a:, y)dxdy
tendue à l'aire A.
Le cas que nous rencontrerons le plus fréquemment est celui où les limites y' et y" sont indépenddnies de x, les limites x' et x" étant aussi indépendantes de y, la formule (8) se simplifie alors et devient
dx j f(x, y)dy =^ j dy j f{x, y)dx ; (9)
cette formule est souvent employée sous le nom de formule d'intégration sous le signe j . Pour comprendre cette dénomination, écrivons a au lieu de x et soit, pour un instant,
/■(a, ij)dy.
Le premier membre devient 1 ^dct • le second membre
exprime qu'on pourra d'abord intégrer par rapport à a la fonction /"(a, y) qui figure sous le signe / dont la valeur estl.
Il faut remarquer que, dans la démonstration de la formule (8), nous avons essentiellement supposé la fonction /■(;:»,?/) continue et même positive ; mais cette dernière restriction est évidemment inutile et tous les éléments pourraient être négatifs.
188. Jusqu'à présent le contour qui limite Taire A a été supposé fermé ; nous allons voir ce qui arrive lorsqu'un point ou une portion du contour est rejeté à l'infmi. Pour préciser, dans la formule (9), supposons d'abord que b croisse à l'infini. Si l'intégrale
f(.x, y)dx
a un sens, c'est que, quel que soit y^
tend vers zéro pour b = oo , et que, dans les mêmes conditions a une limite bien déterminée, cette limite étant une fonction continue d'y.
Or la formule (9) a lieu pour toutes les valeurs finies de 6, quel que grand que soit b ; le second membre, qui est l'intégrale d'une fonction continue d'y, est bien déterminé, même
INTKGRALES DOUBLES 2ol
pour 5 = 00 ; il en est donc de même pour le premier qui est constamment égal au second, et l'on a
dx / f{.v,y)dy= du f(w,y)dx. (10)
On verrait de même que
/ d.v / f{cc,y)dy= I dy / fi^, y)da:. (11)
189. Les formules qui ont été établies dans les deux numéros précédents sont parmi les plus utiles de l'analyse. Il en résulte une nouvelle méthode pour le calcul des intégrales définies. De plus les conditions de continuité dans lesquelles elles ont été établies étant impératives, si l'on constate, dans certains cas, qu'une des égalités (8) à (11) est remplacée par une inégalité, on pourra affirmer que cette inégalité tient à ce que la fonction à intégrer est devenue infinie dans le champ de l'intégration.
1 90. C'est ainsi que Gauss a démontré le théorème fondamental de l'algèbre : Toute équation algébrique à coefficients réels ou imaginaires a au moins une racine réelle ou imaginaire.
Soit l'équation
¥{cG) = k^x"' H- Aj.iy»-' 4- ... -t- A^,a;'« -i' 4- ... -h km = 0 (12)
Désignons par p^^ et a^^ le module et l'argument du coefficient Kp et soit
X = p(cos co + î sin w).
L'équation (12) pourra s'écrire
F(a-^)= ^ PiJ?'"-^' I cos [a^ 4-(w— p)oj J 4- ^'sin [a^j4-(w —pY'^] | =0,
252 CHAPITRE Yl
OU encore
F -i-Qi = 0,
si l'on pose
P =r p^p'" cos (a^ + iïiM) + ... + pj,Q"'—i' cos [^a^, -1- {)n — p)^], Q = PjjP'" siii (a,) + 7niJi) -h ... H- Pi,p"'~^' sin [a^^ + [m — />)w].
D'après les propriétés connues des imaginaires, l'équation (12) ne pourra être vérifiée que si l'on a en môme temps
ou, ce qui revient au même puisque maintenant toutes les quantités sont réelles, si
Or la quantité P^ h- Q^ figure en dénominateur à des puissances différentes et figure seule dans les dérivées successives de la quantité
V = arc tang j-r ,
les numérateurs étant holomorphes.
Si l'on peut démontrer que fune de ces dérivées devient infinie, le théorème sera démontré. Pour cela nous ferons usage de la remarque qui termine le n° 186 et nous montrerons que les deux intégrales
— dut et
prises dans un champ d'intégration convenable n'ont pas la même valeur. Les limites des intégrales seront, pour p, 0 et une valeur suffisamment grande R, pour w, 0 et 27:.
Calculons d'abord
On a
les lignes trigonométriques qui figurent dans P, Q, -- et —
prenant la même valeur pour w = 0 et pour w := 2'!t ; il en résulte
quel que soit p, et par suite
Calculons maintenant
On a
ôV ùoj ()(o — mpop
ôco p- -i- (J2 p,-;p2
les termes non écrits dans la dernière fraction sont, en p, de Jegré inférieur à 2m. On sait que, pour p infini, la fraction a pour limile — m ; on peut donc trouver une valeur R de p assez grande pour que la fraction ditTère de sa limite d'une
2o4 CHAPJTRE VI
quantité moindre que tout nombre e fixé d'avance. Nous choisirons cette valeur pour limite supérieure de noire intégration par rapport à p : comme on a évidemment, pour p = 0,
on a, toujours pour p = 0,
et
Y, étant une fonction de (o certainement inférieure à t en valeur absolue. Par suite
«col I ■=z l-m -f- / TjC/oj.
Mais il résulte du premier théorème de la mçyenne que l'on a évidemment
r^doi <^ 2t:£ ;
s pouvant être pris aussi petit que l'on veut, l'intégrale
I '^^"^ S~ 0 ^iffè'^^ P^^ ^^ — ^"^^ '■> ^^^^ yi^GS,t pas nulle et,
par const-quent, n'est pas égale à 1 dp 1 - — - dio, ce qui
démontre le théorème. Il en résulte en effet que^ pour une ou plusieurs valeurs, d'ailleurs inconnues, de o et de to, P^+Q''^ et par suite F{x) est nulle.
INTEGRALES DOUBLES 255
191. L'emploi des intégrales doubles va encore nous fournir la démonstration la plus simple de Timportante formule (44) du chapitre IV que nous avons établie assez péniblement au n" 139.
L'intégrale Eulérienne de deuxième espèce devient, si l'on pose X = y-,
00 ce
r(p) = / soP-^e-'''doo = 2 j ifi'-^e-y^dy,
Multiplions les deux membres par 2.x-'i-^e-'--dx, et intégrons entre zéro et l'infini ; il vient
r(p)%) = 4 / x-'i-^e-'-dx j y^-i>-^e- yMy\ ce que nous pouvons écrire
le champ de l'intégration étant toute la portion du plan des xy comprise dans l'angle xoy. Introduisons maintenant des coordonnées polaires par les formules
a? = p cos co, y = p sin oj, dxdy = pdpddi ;
la formule précédente deviendra
T(p)T{q) = 4Spî^' + 3-'sin2'?-^a) cos-^'- ^o^e-^^dpdM
Pour couvrir tout le champ de l'intégration, il faudra faire varier p de 0 à oo et w de 0 à ^ ; on pourra donc écrire
r(2J)r('Z)=4 i sin25- 'w cos=i^-^ojc/w I pv-Vq-iQ-^^dp.
La dernière intégrale a, d'après ce qui précède, pour valeur 9 ^(P + ç) I on a donc enfin
co cos'i'-'locLo = ^M^l (13)
Le premier membre représente (n*^ 133, form. 41 bis) B{p,q). On retrouve ainsi l'égalité
Bip a) = ^Mlk)
103. A la vérité, la démonstration précédente laisse à désirer^ au point de vue de la rigueur, parce que nous avons raisonné comme si le champ de l'intégration étaitfmi. Mais, en remarquant que les quantités sur lesquelles porte l'intégration, cc-'i-^e-'-, if-i>-^e-y^-, f + 'i-'^&m^'i-^oi cos2^'-*we-p2, tendent toutes très rapidement vers zéro pour x,y ou p infinies, le lecteur admettra, sans que nous insistions autrement, que dans l'exemple actuel, il n'y a pas eu inconvénient à étendre à l'infini les limites du champ d'intégration. 11 en sera de même dans plusieurs des exemples suivants ; nous reviendrons d'ailleurs sur ce sujet, (n° 199).
Nous allons encore faire quelques applications ; nous obtiendrons ainsi soit de nouvelles intégrales, soit des résultais déjà obtenus par d'autres méthodes.
