CIX
Calcul infihitésimal lî
2o8 CHAPITRE VI
à condition que b soit positif ; sans quoi arctg ^ tendrait
vers
2' 195. Soit encore à évaluer l'intégrale
I =: / ^ -——- dx, (14)
a et p étant deux nombres positifs. Nous nous appuierons sur ce que l'on a évidemment
i= / e~^-ydij, (15)
ce qui permet d'écrire ainsi l'égalité (14)
Le facteur e~'^^ — e'^'^, indépendant de la variable y, peut être introduit sous le second signe / : intervertissant alors l'ordre des intégrations, nous trouvons successivement
>oo /^co
l^ dy l [e-^'^ + yy-^ — e-^^ + y^'^^lx
dy
log " .
INTEGRALES DOUBLES 2o9
196. Nous établirons enfin deux intégrales célèbres, rencontrées par Fresnel dans l'étude de la diffraction.
1=1 CO?,CG"dx,
J = / sin 03-dx.
Posons x" = y\ elles deviennent
I = - / cos y -^, J = ô / sin ij ^-jL.
^ J vy - / vy
Mais on a (n'' 75)
-L = A / e-''%la. (i(3)
VU V- r
On en déduit
I = — / di/ I e ^^'y cos yda, an, en intervertissant l'ordre des intégrations, l = -;=. I da j e~'^'^ cos ydy.
La dernière intégration peut maintenant s'effectuer; il suffit d'intégrer deux fois par parties pour obtenir la valeur
La méthode de de'composition d'une fraclion rationnelle en fractions simples montre que
«2 ~ ïsfi T^i
1 H- a- ci-'^asIÎ-^-ï. a- — a\/2 -i- i' On peut de nouveau intégrer par rapport à a et l'on trouve
On trouverait de même
J = / si II rtt-dx r= — ~ I 2v/2
Le lecteur remarquera les formules (15) et (1 6) qui permettent
de remplacer - ou — par des intégrales définies ; c'est un des
procédés de transformation les plus féconds.
Nous ajouterons que, si la formule (16) n'avait pas été expressément établie en supposant réelles ; les quantités qui y figurent et s'il avait été permis d'y faire y =^i = \/ — 1, celte formule aurait donné immédiatement les intégrales cherchées..
En effet, on obtiendrait ainsi
la^^- 1./^1-
comme e"~'^'* = co3 a^ — i sin a-, il suffit de séparer, dans la formule précédente, les parties réelles des parties imaginaires pour retrouver les formules (17) et (18).
INTEGRALES DOUBLES
Du clmiigeiiieiit de variables dans les intégrales
doubles
197. Nous avons déjà vu que, dans la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, l'in-
tégrale
se transforme en
S/" (a?, ij)dœdij. (19)
S/'(p C03 to, p sin Lù)pdacho.
Les considérations géométriques qui nous ont servi à établir cette transformation peuvent êlre employées quelles que soient les coordonnées, car il sullitd'évaluer dans ces nouvelles coordonnées Télément de surface.
Soient
y = Wh v) )
les formules qui relient les coordonnées cartésiennes, supposées rectangulaires, aux nouvelles coordonnées {k, v). Appelons ^, y les coordonnées d'un point M du plan situé à l'intersection des courbes u == c'% v --= c}"; x -\- dx, y + dy les coordonnées d'un point M' infiniment voisin sur la courbe to = c*""; ûo -\- ox. y -h oy celles du point M" de la courbe v --= c*" inliniment voisin de M. On sait que l'aire du parallélograme infiniment petit qui a pour sommets JM, M' et M" a pour expression le module du déterminant
h^! 4- o?a; y -h di/ l I .V -t- ox 'J -h- oy \
c'est-à-dire
I d.roy — oxdy \ .
Sur la courbe u = c^% on a
dx = -•- dv, du = \^- dv ;
sur la courbe v = c'«,
o:c = -^ du,
-^ du.
Si donc on désigne par | J | le module du jacobien des va-. * riables ^ et y par rapport à u et v,
bu
dV
Faire du parallélogramme infiniment petit aura pour exprc^" sion I J I du dv, et l'intégrale double (19) se transformera dans la suivante
S/"[cp(i^,u), <l{u,v)'] I J I dudv.
198. Nous allons établir la môme transformation sans invoquer des considérations géométriques ; la méthode pourra être ainsi étendue, au cas d'un nombre quelconque de variables. Nous supposerons essentiellement qu'à un système de valeurs de X, y correspond un seul système de valeurs de it, v et réciproquement; de plus le jacobien J, déflni au n° précédent, n& s'annule pas dans le champ de l'intégration.
L'intégrale (19) peut s'écrire,
f{x,y)dx
en n'écrivant pas les limites, pour plus de simplicité. Dans la première intégration à effectuer y est supposé constant ; la seule variable est x. Remplaçons-la par la variable u, ce qui est un changement de variables ordinaires (n° 29); l'intégrale (22) devient
/"LX^'.y)» y] ^ <^u,
INTEGRALES DOUBLES 203
la substitution étant définie par les formules (20) dans lesquelles il faut supposer y constante, ce qui permet de considérer V comme une fonction de u définie par la deuxième équation (20). La première équation (20) donne
dx du
do do ,
du dV '
et la deuxième
on en tire
dx J
dit ô(L'
Notre intégrale peut ainsi s'écrire
/■[?(«,"). y] ^,j^du
ùv
ou
du I fb[i^,v),y']^dy.
Dans cette dernière intégration, il faut commencer par supposer u constant ; on peut alors remplacer y par v a l'aide de la seule formule
C'est de nouveau un simple échange de deux variables ; di/ doit être remplacée par -^ dv et l'intégrale devient
du I f[(f(ii,v), <li(u,vy]Jdv = Sf\o(u,v), ^{u,v)] idudv,
ce qui est bien la forme (21), avec cette différence cependant que nous obtenons J au lieu de | J | . La raison de celte différence est que, dans le n" précédent, du et dv étaient essentiellement positifs ; ici Tégalité
dii = — ^ dv,
par exemple^ peut fairô correspondre à un accroissement positif de la variable ij un accroissement négatif pour v. La règle à suivre est facile à établir ; supposons en effet que /"(a^,!/) ^ l. L'identité obtenue se réduit à
Sdse dy = Sidit dv
Le premier membre étant essentiellement positif, il doit en être de même du second ; le produit 3du dv doit donc toujours être pris avec le signe plus.
La démonstration précédente pourrait laisser un doute dans
l'esprit du lecteur à cause du facteur — qui y a été introduit et
qui pourrait s'annuler en quelques points ; mais il est clair que le cbangement de variables pourrait être dirigé de manière à
remplacer x par v, ce qui introduirait la dérivée -y^. Le jaco-
bien étant supposé différent de zéro, l'une ou l'autre de ces dérivées sera, pour un poiat donné, différente de zéro, et la démonstration pourra toujours être faite.
Des cliscoiîlhisiités et des eliaiiips îiifînis
