La fonction à intégrer peut devenir intinie en un
point (par exemple 7X3: — i à l'origine) ou en tous les points
d'une ligne (par exemple — ^^^7- le long de la droite œ =y). Le
cbamp de l'intégration peut lui-même être infini, comme nous en avons rencontré des exemples. Tout ce qui précède n'a
INTEGRALES DOUBLES 265
alors de sens que si les diverses intégrales que nous avons rencontrées ont des limites bien déterminées et indépendantes de la manière dont le champ devient infini ou du chemin suivi par le point {x,y) en convergeant vers le point de discontinuité. Or il n'y a aucune raison pour qu'il en soit ainsi en général. Pour préciser ce point au moins par un exemple, considérons l'intégrale, envisagée par Cayle}^
• S sin (.«^ -^ /y^)T (23)
étendue au champ inlîni compris dans l'angle xoy : si l'on exprime Faire 7 par des coordonnées rectilignos, on pourra écrire l'intégrale (23]
dx I sin (x- -+- ij-)dij
^-»X< /-èOO /'ÎVD /'-»70
/ sin j:-d.r I cos y-di/ -H I cos .x-d.': j siti i/dfj.
Les différenls intégrales qui figurent dans celte somme ont
été calculées (formules 17 et 18) ; la somme a pour valeur )\
Employons maintenant des coordonnées polaires ; l'intégrale (23) peut s'écrire
S sin çi^.odpdf) = j dAo j sin o-.pdp
r= ^- (1 COS 00 ) ;
cette expression est entièrement indéterminée. La différence des résultats obtenus tient à ce que, dans la somme
S sin (a;^ -f- y-),
figurent une infinité d'éléments qui, pour x, y ou p infinies.
prennent des signes quelconques et se groupent d'une manière absolument arbitraire.
Il est impossible de formuler aucune règle générale. Mais voici deux résultats particuliers, analogues à ceux établis pour les intégrales simples, et qui nous seront utiles dans la suite.
300. Si, à r extérieur cïiin cercle de rayon B, le module de f {Xy y) demeure inférieur à Af~ ^, A étant un nombre fixe et a étant supérieur à 2, Vintéyrale
I = "^fioG, y)^,
a un sens bien déteiminé.
La partie I^ de I qui correspond aux parties intérieures à tout cercle de raj^on fini, est finie et déterminée par hypothèse. A l'extérieur, écrivons le reste de l'intégrale
En vertu des hypothèses faites, on aura, pour toute région extérieure au cercle de rayon R,
M., fy ûr.
ou
Or on peut prendre o^ et p^ assez grands pour que les deux fractions précédentes soient inférieures à tout nombre s fixé d'avance ; on aura donc, a fortiori
INTEGRALES DOUBLES 267
La quantité I^ tendant vers zéro, I^ a une limite bien déterminée, ce qui démontre le théorème.
301. Si une fonction f{x^ y) est infinie an i^oint M, mais si pour tout point à Vintérieur d'un cercle ayant pour centre le point M et pour rayon R, on a
. ( k constante
mod. f{x, y) <i-^, < a -< 2
'^ ( p distance au point M,
rintéyrale sera encore bien déterminée.
Il suffît évidemment de considérer la partie de la somme S qui correspond à l'intérieur du cercle ; cette partie peut s'écrire
Elle est inférieure en valeur absolue à la quantité
^-prfp = ^-R2-«.
a r , 2 — Cf.
qui est finie. L'intégrale I est donc finie.
203. Supposons enfin qu'il y ait une ligne de disconlinuité L et que Ton puisse tracer deux lignes parallèles Lj et L^ comprenant L et telles que pour tout point du plan compris entre les deux lignes on ait
w étant la distance du point {x, y) à la ligne L, A une constante et a un nombre inférieur à un. Je dis que l'intégrale double (19) aura encore une valeur finie pour tout champ fini traversé ou bordé par la ligne L.
En effet, prenons comme coordonnées la longueur OP = u de la ligne L comptée à partir d'un point 0 de cette ligne et la
FiG. 20
distance PM = w du point M(^', y) à la ligne L. L'intégrale double à effectuer est
S/'(a% //) I J I dudv,
et, pour toute la portion du champ comprise entre Li et L, ,1a partie correspondante de l'intégrale sera inférieure à
J I dudv.
Calculuns | J { ; la courbe L a pour équation
Nous supposons qu'elle ne présente aucune singularité dans le champ de l'intégration. La normale en un point aura pour équation (tome 1, n*^ 288)
le troisième rapport étant écrit en remarquant que, en verlu de la définition de ii^ on a
INTEGRALES DOUBLES 209
Les formules de transformation sont donc.
y/cp'^ -h «l-'
nous n'avons pas écrit la variable w, dont dépendent exclusivement o, 4-, o', -y, pour simplifier l'écriture. Le jacobien J a pour expression
et l'intégrale double (24) devient
, f^y / I ?'- -f- 4-" — ii(o'y — o'f ) I c^«
En effectuant la dernière intégration, on trouve
et celte expression demeure finie, quelque petits que soient îd et 11-2 parce que a < 1 ; appelons-la V. Il reste à calculer
quantité évidemment finie; car cp' et 4' ne peuvent s'annuler en même temps. La proposition est donc établie.
303. Si la fonction à intégrer contient un paramètre arbitraire, on pourra encore, comme pour les intégrales simples,
et SOUS les mêmes conditions de continuilc, intégrer et différentier sous le signe S, c'est-à-dire qu'on aura
Intégrales de surface
204. On est souvent conduit en physique à considérer une autre espèce d'intégrales doubles dont nous devons dire quelques mots et qu'on peut considérer comme une généralisation des intégrales curvilignes. Auparavant quelques définitions seront nécessaires. Considérons de nouveau, comme au n° 178, une portion de surface (S) limitée par un contour C et telle que toute parallèle à oz ne rencontre (S) qu'en un point; soit encore F la projection de C,
l'équation de la surface (S).
Nous supposerons que la surface considérée ait deux côtés, c'est-à-dire que, si, pour un instant, on la suppose matérialisée, deux insectes placés pieds contre pieds au même point mais de part et d'autre de la surface ne pourront se rejoindre sans passer parles bords, quelque chemin qu'ils suivent (*).
C) Il existe des surfaces qui n'ont qu'une face, par exemple celle qui est représentée ci-dessous et qu'on peut réaliser facilement avec une
FiG. 21 bande de papier : il suffit de replier la bande de manière qu'en rappro-
INTEGRALES DOUBLES 271
La demi-normale issue d'un point M de (S), une fois fixée, le côté vers lequel on la mène, ne pourra jamais venir coïncider avec la demi-normale opposée, quelque chemin que parcoure le point M. Menons la d'abord du côté où elle fait avec les z positifs un angle aigu, et soit y cet angle. En vertu de nos hypothèses, pour tous les points de (S), cet angle demeurera aigu, et Ton aura partout, en désignant par ch un élément de la surface (S)
da: dij = d'y ces y (27)
en grandeur et en signe. On aura donc aussi
So{x,ij,2) dx d]i ■= ^Q{x,i],syh cos ■(, (28)
z ayant sa valeur tirée de l'équation de la surface (S).
A l'intégrale précédente, on peut attacher une intégrale égale et de signe contraire ; c'est celle pour laquelle en chaque point de (S) on considérerait, au lieu de la demi-normale envisagée, celle qui lui est directement opposée. L'angle yi de cette demi-normale avec oz serait obtus, et cos Yi serait négatif.
"ZQ^. Considérons maintenant une surface fermée convexe, de la forme d'un ellipsoïde par exemple. La courbe de contact du cylindre circonscrit parallèle à oz partage la surface en deux parties (Sj) et (Sj). Sur Tune, (Sj), la demi-normale eoT/er/ewré fait avec oz un angle aigu; sur (Sg) l'angle de o^ avec la deminormale extérieure est obtus. L'intégrale double
S(s)ç(â',?/,s)c?c7 COS Y
chant les bords extrêmes, la face externe d'un bord coïncide avec la face interne de l'autre. Le lecteur verra facilement qu'en partant du point visible A et se tenant par exemple à égale distance des deux bords, le chemin viendra, après avoir disparu quelque temps, reparaître en B, G puis D pour finalement revenir en A, mais du côté invisible : on a donc passé de la partie visible en A à la partie invisible sans avoir jamais changé de côté.
étendue à toute la surface (S) se compose donc de deux parties : l'une, que nous désignerons par la notation
pour laquelle l'élément dn cos y est toujours positif, l'autre
S(s2)¥(^>î/.-)c?<r cos Y-
qui correspond aux éléments 'négatifs. En d'autres termes, en revenant à l'expression cartésienne des difTérentielles (supposées essentiellement positives), on aura
S(s)(f(^,?/,s)c?c7 cos Y := S(sj)ç(a!,î/,xr)c?â; dij — ^{s^Y^[oo,y^z)dx dy. (29)
Le premier membre de cette égalité, que nous appellerons l'intégrale double prise du côté extérieiir de la surface^ représente donc d'une manière concise une difîérence de deux intégrales doubles. Nous admettrons encore qu'on peut représenter la même quantité par la notation
S(s)cp(,r,î/,s)(fr(7 dy ; (30)
mais celte fois les différentielles dx, dy pourront être négatives. Avec la même extension nous emploierons encore la notation
^{,c,y,z)dx dy. (31)
206. Supposons par exemple que ^ix,y,z) se réduit à z. La formule (29) devient
S(s),îo?a cos Y = Sis{)zdo: dy — S(s.^)zdx dy. (32)
Mais S(sj) représente le volume compris entre la surface (S,), le plan des xy et le cylindre circonscrit à (S) parallèlement à os; le deuxième terme du second membre, dans l'égalité (32), représente un volume analogue limité à (S^). La différence de
INTEGRALES DOUBLES , 273
ces deux volumes n'est autre chose que ïe volume intérieur à la surface (S) ; l'on a donc par une expression unique et très simple
V = volume de (S) = Qz-ch cos y-
Ainsi considérons un hémisphère ayant son centre à l'origine et pour rayon 11. Nous déterminerons un point de la surface par l'angle y, et par l'angle '\> que fait le plan qui contient le point et l'axe oz avec le plan zox. On a alors
= R cos 7 ch = Rd(R sin -(.clli
d'où
Y = R^ d'!^ j sin Y cos2YC^;
= -y- * (sm Jy + sin y)«Y =5 '^R •
SOT. On pourrait de même considérer des intégrales de surface
'h{a),ij,z)d^dx, I I ■/J,v,t/,c.)dijdz,
«tendues à toute la surface qui a pour équation
ou mieux
Enfin l'on rencontre souvent dans la physique mathématique des expressions telles que
^{oo,y,z)dxdy 4- 'I>(.^;,?y, z)dzdr h- y{x,y,z)dyds J (33) Calcul infixitésimal 18
OÙ figurent trois intégrales de surfaces, et qui sontelles-mênies des intégrales de surface.
En désignant par a, p, y les angles que fait la demi-normale extérieure avec les axes de coordonnées, on peut encore écrire une pareille intégrale
(/ cos ot. -\- lii cos p -h '^ cos -()d<y.
M. Emile Picard a étudié ces nouvelles intégrales et notamment a donné la condition
pour qu'elles ne dépendent que du contour C.
On démontre alors que », <h, y peuvent être mises sous la forme
^ hy Oii' ^ ~' '07C ri2 ' ^' i>0 (1?/*
Nous n'entrerons pas dans le détail des démonstrations. Nous n'aurons d'ailleurs à considérer que des intégrales remplissant ces conditions, car ce sont celles que l'on rencontre leplus fréquemment en physique mathématique.
Traiisforiiialîoiis crinlég-rales de surface en intégrales curvilignes
SOS. Démontrons d'abord une formule d'un usage fréquent,, et qui n'est qu'un cas particulier de la formule de Green sur laquelle nous reviendrons plus loin.
Soient P et Q deux fonctions d'^ et \Vy continues et uniformes dans une aire plane ; soit
-) dxdtf
INTEGRALES DOyBLES 2~o
une intégrale double étendue à cette aire, et soit C la courbe fermée qui entoure celte aire. On a, en supposant yi <; y^*
^ dy = P{cc,ij,) — P(:c,i/,) : , .
De même
avec A\ < CV.2.
Donc
Mais, si l'on tourne dans le sens trig'onométrique sur le contour C, on a pour valeur des intégrales curvilignes suivantes :
/ Pdx = / [P{:e,;jO — P(x,y,)J dx La valeur de I est donc donnée par la formule
(^1 gj o.xdy = - {Vclx + Qd;j) ■ (35)
Telle est la formule que nous voulions établir et qui transforme une intégrale double en une intégrale curviligne. En
réalité, elle suppose que le contour G n'est rencontré par des parallèles aux axes qu'en deux points ; mais il est facile do montrer qu'elle subsiste dans tous les cas.
Soit, par exemple la courbe, ci-contre ; il suffit de la découper par des droites ou courbes telles que AB, BC, DE pour que
FiG. 22
dans chaque aire partielle la condition précédente soit réalisée.
L'intégrale double sera la somn:ie d'intégrales étendues à
chacune des aires et, d'après la formule (35), aura pour valeur
