AC) + (CA

On pourra ainsi découper l'aire par aulfint de courbes intermédiaires que Ton voudra. Supposons maintenant que le réseau {î(,v) découpe sur la surface un quadrillage analogue à celui des coordonnées rectilignes dans le plan, et que ce quadrillage soit assez serré pour que chaque quadrilatère puisse être assimilé à un quadrilatère plan. On aura pour chaque quadrilatère, dont nous désignerons le contour par y,

rinlograle double étant étendue à l'aire du petit quadrilatère. En faisant la somme de toutes les égalités pareilles pour tout le réseau, le premier membre représentera évidemment l'intégrale double étendue à toute Taire donnée ; le second membre, en vertu de la remarque préliminaire que nous venons de faire, sera l'intégrale curviligne prise le long de la courbe qui limite cette aire. On aura donc bien

-- \dudv = — / (Pf/w Qg?u) (3o his)

^V iHi

Foriiiiile de Stokes

SIO. On désigne sous le nom du géomètre anglais une formule qui avait été auparavant utilisée par Ampère au moins dans un cas particulier. Elle concerne les intégrales dont il a été question au n° 206 et qui sont prises sur une surface donnée,

Le théorème de Stokes consiste en ce que cetie intégrale peut être exprimée au moyen de l'intégrale curviligne

{oidx -h ^dij -h '(dz), (37)

prise le long du contour G.

En vue des applications, il est indispensable de fixer le sens dans lequel est parcouru ce contour. On appelle sens direct, en cinématique, le sens de gauche à droite, c'est-à-dire celui des aiguilles d'une montre ; nous adopterons ici cette déno-

INTEGRALES DOUBLES 279

mination. Nous supposerons en outre que le trièdre oxyz est direct c'est-à-dire qu'un observateur placé suivant os, les pieds en o et la tôle en z, voit dans le sens direct le mouvement qui amènerait ox sur oy par une rotation de 90''.

Ainsi que nous l'avons dit, l'intégrale (36) n'a de signification précise que si l'on fixe le côté de la surface sur laquelle elle est prise. Menons la demi normale de ce côté en un point M; pour tout observateur placé suivant cette normale, les pieds en M, le sens direct sera bien défini le long de tout petit contour enveloppant le point M : si ce contour emprunte une partie du contour C, un sens aura été fixé sur C; c'est le sens dans lequel il faut parcourir C pour évaluer l'intégrale (37).

Cela posé, supposons dans la formule de Riemann (n'' 207) que Q soit nul ; elle s'écrit

Vdx,

en désignant par Cj un contour tracé dans le plan de xy et qui peut être la projection de la courbe C.

Si, ce que nous supposerons d'abord, le côté choisi sur (S) est celui pour lequel l'angle de la demi-normale avec Os est aigu^ le sens sur Cj est le même que sur C et l'on peut écrire

^dx. (38)

Supposons maintenant que P soit une fonction des trois variables x, y, s, z étant elle-même reliée h. x e^iy par l'équation donnée de la surface (S). On aura alors, en désignant par

l^june dérivée totale,

bP

^ ôP Ô2-

280 CHAPIURE VI

D'autre part, on a, en appelant «, p, y, les angles de la normale à (S) avec les axes

cos a cos p cos Y

^5 __ cos p 0?/ cos Y *

La formule (27) donne

dxdi/ = di cos Yj

et l'on a finalement, en reportant ces valeurs dans Fégalité (38)

S( cos Y ': cos p '— )<;?C7 =3= — / Pdx.

On aurait de même^ en désignant par P et Q deux autres fonctions,

S(^cos a ^- — COS Y l^y^ ^~ ^'^^' S( cos 3 -^ — cos a —)d(y = — / Rds.

Additionnons membre à membre ces trois égalités : nous trouvons enfin

bj (~ — - cos a H- (- cos B H-/ cos Y \d'^. i

C'est, SOUS une autre forme, la relation annoncée. Nous avons dû, dans le courant de la démonstration, supposer que le côté de (S) sur lequel on inl(^grait était déterminé d'une certaine manière (cos y positif) ; on peut lever celte restriction. En eflet, si l'on intègre sur le côté opposé, les cosinus changent de signe; mais, en même temps, le contour C est parcouru en sens contraire et le signe de l'inle'grale curviligne est aussi changé. H y a donc encore égalité entre les deux membres.

Sli. Comme application, cherchons les conditions pour que l'intégrale

Pdx -h Qdi/ + ndz)

soit nulle le long de tout contour C terme. Il résulte de la formule (39) qu'il sera nécessaire et suffisant que l'on ait

ce sont les conditions qui expriment que

Pdo: -+- Qdy -{- Mz

est une différentielle exacte.

Sous les mêmes conditions, l'intégrale

(Pdcc -+- Qdy h- Rdz) abc

pourra être considérée comme une fonction ¥{œ,i/,z) de sa limite supérieure, et l'on aura