I - = sin no — sin ' n -f- 1 Up

APPL1CATI0:SS GEOMETRIQUES 283

Il en résulte

-L ds^ = (il 4- 1)2(1 cos ©) r= i{n 4- l)--sin2 |

ds = 2[n H- 1) sin

- = C — 4(?i H- 1) cos |.

Si l'on compte les arcs à partir d'un point de reLroussement

(a> =: 0), on trouve - = 4(;i h- 1 ) ( 1

cos

Pour Vhypocycîoïde, il suffît de changer a en — a.

214. Rectification de la parabole. — Nous compterons l'arc s de la parabole à partir du sommet, et nous exprimerons les deux coordonnées d'un point M de la courbe en fonction de l'angle « que fait avec ox la tangente au point M. Comme l'on a, dans la parabole^

du , p

* dx ° y

•on trouve immédiatement

y = p cot a, X =^ col-a.

On en déduit

j x/m-^èh-^^'J,

Dilïérentions ^~^: nous obtenons sin-a'

2 cos a doL __ j 1 sin^a ' sin^a'

ce qui peut s'écrire, en multipliant les deux membres par ■ces %

2 j 2 j 1 cos a 1 ,

— ITT^IT «« H- r-r- - f" = cos art ^-^ = d -.— , ^^p- c^ cos y.

feinta sin a siii'a sjn'a sin'a

OU enfin

2 , • COS a c?a

sin"a sin-a sin a

En intégrant, on trouve l'arc de parabole

M Fcos a , , al

s = % -.-:> log tang ^ ,

sans constante d'intégration parce que, pour a = ^> on a bien

^' = z/ = 5 = 0. Le signe de 5 a été choisi de manière que l'arc croisse lorsque a décroît.

-v) (30S ot

On peut remarquer que le premier terme, %~z^^-> représente la longueur de la portion de tangente comprise entre le point M et oy.

SI 5. Spirale logarithmique. — Cette courbe a pour équation

Son arc a pour longueur (Tome I'^'" n^ 392)

=z a I e vl H- ''^i" "<^'

ou enfin

HIQ, Lemniscate. — La rectification de la lemniscate dé-

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 2§y

pend des ionctions elliptiques. Mais la longueur totale peut

FiG. 24

s'exprimer au moyen des fonctions Eulériennes. Rappelons que la lemniscate, lieu des points M tels que

MF.MF' = 0F2 = a-,

a pour équation en coordonnées polaires

p- = 2a-cos 2co.

Elle a la forme ci-tlessus ; ses tangentes à l'origine sont les bissectrices des angles des axes. L'arc AMO, qui est le quart de la longueur totale^ a donc pour longueur

\ff + p'2 di,> = a \/2

Posons

L'intégrale précédente devient

di.0

v'cos 2co*

cos '■'■ (fd^

et l'on reconnaît (n° 155) Tinlégrale Eulérienne de première espèce B (^, t j divisée par 2. La longueur totale de la lemniscate sera donc

'il)

Mais l'on a (n» 160^

^ ' sin 7-

L'expression précédente devient ainsi