Hélice. — Les éqaations de l'hélice sont (l n
57 = a cos «i, y = a sin œ, 5" = ?na«i ; on a
on en déduit immédiatement
HV^, Loxodromiè. — On appelle ainsi une courbe tracée sur la sphère et qui coupe tous les méridiens sous le même angle. Soit a le raj^on de la sphère, f la longitude, 0 la colatitude d'un point. A l'aide de ces coordonnées polaires, on trouve pour équation de la courbe,
• siiî6(e«?-i-e-"'^) =2 (1)
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
On en déduit, a cause de e'" x «"""'" = 1,
.-, ces 0 "^ sin 6
Cela posé, l'arc infiniment petit MM' s'obtient ainsi
FiG. 2;;
c^s = a \'dQ' -7- sin^ Oo?'f "
s = rt / V "^" -r- sin- ôf/o'^
Or, en difîérentiant l'équation 1), on trouve
cos i^daie"'^ + e-"'^) + sin e(e"=P — e-''?)wf/cp = 0:
d'où, en remplaçant les exponentielles par leurs valeurs tirées des équations (1) et (2)
d^ = dz n sin 9 d'-f.
On a donc
In 71 ' ^
288 CHAPITRE Vil
L'arc décrit est proportionnel au changement de latitude.
Dans le cas où la loxodromie se confond avec ua parallèle, la formule précédente devient illusoire ; on a alors n = 0, 6 = Ôq. La solution directe est évidente.
Quadratures d'aires planes
!219. Nous considérerons d'abord les aires planes. Nous avons démontré dès le premier chapitre de cet ouvrage (L n° 3) que l'aire d'une porlion de courbe limitée à deux ordonnées (x := a. et X = p) ei k l axe des x a pour expression
y éiant l'ordonnée d'un point courant delà courbe. Cette règle suffit dans la plupart des cas.
Supposons par exemple qu'il s'agisse de la parabole
»y2 - 2pa; y z= \/2p. œ^ .
L'aire d'un segment parabolique compris entre le sommet 0 et une perpendiculaire MM' à l'axe est le double de l'aire OMP, elle a pour valeur
ijdx = 2^2j^ j rc^ dx = -| {2paY~
OU encore, en appelant b l'ordonnée correspondante à l'abcisse «, ^ «^•
On voit que cette aire est les deux tiers du rectangle construit sur MM' et sur OP. Ce théorème avait déjà été énoncé par Archimède.
Le môme théorème subsiste d'ailleurs si les axes sont obliques. Prenons dans ce cas pour axes de coordonnées,
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
faisant entre eux l'angle e, la tangente oij au milieu de l'arc qui limite le segment parabolique et le diamètre ox qui passe
FiG. 26
par ce poiat. L'équation de la parabole sera
un élément d'aire (compris entre deux ordonnées, l'axe des x et la parabole), sera un parallélogramme et aura pour expression ydxûw^. Le segment parabolique aura pour valeur
ydx sin 6 = v^ a'h sin G
il est encore les deux tiers du parallélogramme construit sur la corde du segment et sur la portion du diamètre comprise entre 0 et la corde. On peut aussi dire que l'aire du segment parabolique est les deux tiers de l'aire du triangle formé par la corde du segment et par les tangentes menées aux extrémités de la corde.
2!30. Ellipse. On peut de même évaluer l'aire du segment elliptique. Soit l'ellipse
Calccl infinitésimal
On a ici à calculer
ydx =
\l d^ — cc^ dx.
On trouve ainsi pour le segment, qui est le double de celte
intégrale
00 are sin x y a — x^.
On aura l'aire de la demi-ellipse en faisant ^ = ât, ce qui donne pour l'ellipse totale
Tzah.
'iHV, Ainsi qu'on peut le pressentir par l'exemple précédent, puisqu'on sait calculer l'aire d'un segment elliptique tandis que l'on n'a pu rectifier Tare d'ellipse sans inventer de nouvelles fonctions, le problème des quadratures est plus simple que celui des mesures de longueurs d'arcs. Cette différence provient de ce que l'expression de l'aire élémentaire est rationnelle, au lieu que celle de l'élément d'arc contient un radical carré. C'est ainsi que l'on sait quarrer toutes les courbes unicursales (dont l'ellipse et la parabole font partie).
Nous en donnerons un dernier exemple.
FiG. 27
Soit à évaluer l'aire de la boucle du folium de Descartes, qui a pour équation
/ç3 | y3 — ?jaxy = 0.
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
En posant ij = tx, on a les deux coordonnées en fonction d'un même paramètre.
La boucle s'obtient en faisant varier ^ de 0 à co ; son aire aura donc pour valeur
A = / ydx = ± 9a-
;1 — Ifydt (1 4- iy ' '
•ce qui peut s'écrire
A = dz W
Wdt
(1 + fY
ïl faut prendre le signe — , ce qui donne
A — - ij- t
2S2, Il est essentiel de souligner l'incident qui vient de se
FiG. 28
passer dans l'exemple précédent où le changement de variables
était insuffisamment justifié et expliqué. Nous avions en effet, jusqu'à présent, admis que les aires étaient limitées à deux ordonnées et à l'axe ox. Pour évaluer une aire quelconque fermée, il faut la considérer comme différence de deux aires du tj^pe précédent, savoir : l'aire ABCFE et Faire ADCFE
A = aire ABGD = aire ABCFE — aire ADCFE
Si donc y. 2 et y^ sont les ordonnées correspondantes à une même valeur de x (î/^ >> yj et si a, b sont les abscisses extrêmes, on aura
Revenant à l'exemple précédent, on voit que sur le premier arc OMA, il faut faire varier ^ de oo à une certaine valeur t^ ; sur le second arc, t varie de zéro à ti. On a donc
ou
Pour simplifier la démonstration, nous avons supposé que la courbe n'était coupée qu'en deux points par les parallèles à oy ; s'il en était autrement, on pourrait toujours, comme au n° 183, par des parallèles à oy, découper l'aire à mesurer en parties, dans chacune desquelles la condition précédente serait réalisée.
!323. On voit d'ailleurs, par l'exemple précédent, combien les changements de variables peuvent être avantageux ; nous avons pu, grâce à l'emploi de la variable /, remplacer une différence de deux intégrales par une intégrale unique.
APPLICATIONS GEOMETRIQUES 293
Pour effectuer le changement de variables sans embarras, on peut considérer que l'aire à évaluer est une intégrale de surface
dxchj
étendue à toute Faire considérée; si l'on désigne alors par u et V les nouvelles coordonnées et par | J | le module du déterminant de X, y par rapport à ii ei v, la nouvelle expression de l'aire sera
J I diido.
S34. Considérons par exemple les coordonnées polaires dont l'usage est si fréquent. Les formules de transformation
j; = p cos w, y = p sin w donnent immédiatement
ce qui confirme le résultat obtenu n° 181.
Comme première application, évaluons Taire totale de la courbe
p'' = sin^to cos w.
Cette courbe a deux boucles, une dans le premier quadrant et une dans le troisième, ces deux boucles ont môme aire. L'aire totale aura donc pour expression
sin-w cos"-toc?oj
Or (n° 147)
^{i)=h^(lh n'-) = ^>
donc
A = ^r ("i j r (7) = ^ ~- = 0,5553 environ
sin j-
Quadraliire des surfaces courbes
!S25. Pour évaluer les aires courbes, nous devons d'abord chercher Texpression de l'élément de celle aire. Supposons les trois coordonnées d'un point quelconque de la surface évaluées en fonction des deux paramètres u et v. L'élément ^fa^ correspondant au point où la normale fait avec oz l'angle y,. a pour projeclion sur xoy, l'élément d'aire plane dxdy :
, dxdy
cos y'
Nous supposerons d'abord y aigu sur toute la surface à mesurer.
La valeur de cos 7 a été donnée au n° 474 du tome 1" ; en conservant les mêmes notations, on a
cos Y =
D'autre part on a vu (n° 196) que
da^djj = I J ] dudv, et
^u ou ^v Me
