APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
L'élément d'aire a donc pour expression
da = v^A^ H- B'-^ H- C- dîidv et l'aire totale
V^À- H- B- + C- diidv. (4)
on lèvera, ici comme dans les cas analogues déjà considérés, les difficultés de signes en découpant au besoin en plusieurs parties l'aire à évaluer. Nous allons donner quelques, exemples.
S26. Fenêtres de Viviani. — Le problème consiste à e'valuer l'aire de la surface sphérique qui subsiste lorsqu'on a enlevé d'un hémisphère les deux fenêtres que découpent deux cyhndres tangents entre eux et tangents à la base de l'hémisphère aux extrémités d'un même diamètre (voir la fig. n° 185).
Nous pourrions appliquer la formule (4), mais nous arriverons plus rapidement au résultat en employant les coordonnées du n° 185, et en reprenant le calcul directement. L'élément d'aire plane a pour expression en coordonnées polaires
pdpdoi, l'angle y est l'angle du rayon de la sphère avec l'axe oz ;
z cos Y = g-
On a donc à évaluer
296 CHAPITRE Vil
OU (n° 185)^ en évaluant d'abord le quart de l'aire totale,
R / (/w / ■ ,.r'' . = R / cho [— vi\' — p^l
ri ______ ri
= R / /K- — p- c^co = R2 / sin loc^w = R^.
L'aire totale est égale à 4R^ ; elle est donc exactement quarrable.
Hm. Aire de r ellipsoïde. — Soit l'ellipsoïde
Nous exprimerons les coordonnées d'un point de l'ellipsoïde par les formules
ce = a sin 6 cos o, y = ^ sin 6 sin cp, z ^= c cos 6 et nous appliquerons la formule (4)
— = a cos 6 cos o -^ z= b cos 6 sin -f -^ = — c sin 9
00 '00 or)
— = — « sin 6 sin es --J- ^ o sin 6 cos «o — =0
A = 5c sin'^0 cos a B = ca sin^O sin o C = ah sin 0 cos 6
on aura donc pour le huitième de l'aire totale
ri ri
\Jb^c^ sin-6 cos^tc H- a-c^ sin-6 sin-œ + a^b- cos^G %in^Mdo ■ 0 «-'0
En remplaçant sin^o par 1 — cos^^ sous le radical, on aura à intégrer une expression de la forme
\'\ -H |JL cos'O sin GrfOf/cp.
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
L'intégration par rapport à 6 s'effectue immédiatement. Mais l'intégrale simple à laquelle on est conduit est une intégrale elliptique ; nous ne pousserons donc pas le calcul plus loin pour le moment.
2S8. Nous avons vu (tome I^"^ n° 477) que l'élément d'arc d'une courbe de la surface a pour expression
c?s2 = Echc'- -f- 2Fdmlo + GdvK
Il résulte des valeurs (10) données au même endroit pour E, F, G et de l'identité bien connue
que
[p' -+-q-^ r^) [p" -H q" + r''') — {pp' + qq' -H rr^ A2 4- B2 4- C- = EG — F^
Par conséquent, si la surface est donnée par son ds^, on aura pour l'expression de l'aire
^EG — F- dudv
Cette formule peut s'établir très simplement par des considérations géométriques.
En effet, traçons sur la surface les courbes u = constante et V = constante ainsi que deux courbes infiniment voisines de
298 GHAriTRE VII
celles-là. Elles déterminent sur la surface un quadrilatère que l'on peut assimiler à un parallélogramme ("*"). L'aire de ce parrallélogamme a pour expression (voir toujours I n^ 477).
MN.MQ sin a = v'ïidv ^Ëdu s/^ —^ = \/EG — Fhhidv,
ce que nous voulions établir.
S29. Considérons par exemple la surface de vis à filet, carré et toutes les surfaces, telles que la caténoïde, applicables,. sur cette surface. Nous avons trouvé pour le ds- (I. n° i527)
ds'- = dit" + (a^ + ie-)dv^'.
Une portion de la surface aura donc pour aire
u-dudv
et l'on voit que la double intégration peut être entièrement effectuée. Pour les surfaces de révolution quelconques (n° S32), on
(*) Soient x, y, z les coordonnées du point M. Celles de Q seront se 4- .^-? du, y + -^ du, .0 + — du. On obtiendra celles de N et de P
ÔM ^u ^u
en remplaçant dans les coordonnées des deux points précédents x,y,z^ par X + — dv,... Soient x^, y^, z^, celles de N. La projection de MQ sur
ou
ox est — du, celles de NP ^— • du = ^~ du H dudv. Ces projections
i)m ^U î>lf ^U^V
sont égales aux infiniment petits du second ordre près. Il en est de même sur les trois axes. Donc MQ et NP sont parallèles ; de môme MN. et QP.
APPLICATIONS GEOMETRIQUES 299
est loujours ramené à une intégrale simple; car Faire a pour expression
V'<D{u)di(dv = / (l'i — l'o) \/^{it)dii,
%\ et t'o étant les valeurs extrêmes de v pour une valeur donnée à u.
Ainsi, supposons que la méridienne soit la cycloïde
r £ç r= a(it — siii i() ( y = a(i — cos n)
et que la surface de révolution soit engendrée par cette cj-cloïde tournant autour de sa hase [ox). Les coordonnées d'un point quelconque seront
X = 07 = a{ic — sin ti)
Y = y cos V = a({ — cos w) cos v
Z =: y sïnv ^= a(l — cos v) sin v,
on en déduit immédiatement
ds- ■= dX- -+- dY^ -h dZ- = 2a-(l — cos n)d2i^ -t~ a"(l — cosicfdv^- F = 0,
E = 2a-(l — cos w) = Aa^ sin- ;j ,
te G = a-(l — cos uY = 4a" sin^ ^ ;
ff = 4a^ / / sin^ -V diidv.
Pour intégrer cette expression, on remarque que
, . ^u n, ■ u . 3u 4 sm^ - := d sin — — sin -^;
300 CHAPITRE Yll
nous évalaerons la surface engendrée par une boucle complète de la cycloïde : u variera alors de 0 à t: et u de 0 à 2?:, et l'on aura
clv I |3 sin :j — sin 3 lAdu,
230. Nous avons dit (l n° 331) qu'on appelle courbure totale d'une surface en un point le produit des inverses des rayons de courbure principaux. Voici par quelles considérations Gauss a justifié l'introduction de cet élément important.
On sait qu'on appelle courbure d'une courbe plane le rapport de l'angle de contingence à l'arc infiniment petit. Décrivons une sphère avec l'unité pour rayon, et par le centre 0 de cette sphère menons les parallèles Om, Om' aux normales MN, M'N' de la courbe donnée. L'arc de grand cercle mm', infiniment petit si M et M' sont infiniment voisins, mesure l'angle des deux tangentes et l'on a pour expression de la courbure
arc MM'
Etendons ces considérations aux surfaces. Soit dS un élément
de surface limité par une courbe (c), M un point de cet élément,
MN une demi-normale à la surface menée par le point. La
parallèle à MN menée par le centre de la sphère de rayon U7i
et dans le môme sens perce la sphère en un point m qui est la
représentation sphérique de M. A l'élément d^ de la surface,
correspond ainsi un élément dS^ de la sphère et à la courbe (c)
une courbe sphérique (ci). On peut appeler courbure de la sur-
dS face au point M la limite du rapport -^ lorsque ces deux aires
tendent vers zéro. Cherchons quelle est cette limite. D'après la formule (6), nous avons sur la surface (S)
APPLICATIONS GEOMETRIQUES 301
et sur la sphère
dS, = \/E'G' — F'^-du'dv'.
■ Les coordonnées du point m peuvent évidemment être considérées comme dépendant de ii et de v, c'est-à-dire que l'on peut supposer ic' = u, v' = v. Il en résulte
dS, . ^/Ï^W-W^
dS ~ V/J^G - F^ • ^V
Supposons que le réseau {u,v) sur la surface (S) soit celui des lignes de courbure ; c'est un réseau orthogonal, et l'on a
De plus les courbes {u), (v) sur la sphère ont à chaque instant leurs tangentes parallèles à celles des courbes [k], {v) de (S) (I. n" 507) ; on a donc aussi F'= 0, et le trièdre mobile attaché au point M sur la surface, trièdre formé par la normale et les tangentes principales, est, à chaque instant, homothéthique au trièdre mobile qui suit m sur la sphère. II en résulte que, dans les formules (59) du n° 522 (tome l^i"), les valeurs de a, p, Y, p, q, r, p^, q^, i\ sont les mêmes pour la sphère et pour la surface. Or sur la surface, on a (n° 531)
1 l^r riî'A 1
RR' "~ \ùu "~ '^i) ^7ë^ '
sur la sphère de rayon un, on aura de même
D'où, en divisant membre à membre,
l^K' - v'ËG
comparons à la formule (8) dans laquelle il a fallu faire F = F'= 0. Nous trouvons
rfS ~ RR' ^'^^
Ainsi ce que nous avons appelé la courbure de la surface au point M est précisément la courbure totale, et la formule (9) est une généralisation de la formule (7) relative aux courbes planes.
La formule précédente permet de mettre l'élément d'une surface quelconque et par conséquent l'expression d'une aire •courbe quelconque sous une forme élégante et souvent utile. On a en effet
dS = RR'c^S, ;
si le point de la sphère est déterminé par ses coordonnées polaires 6 et tf,
tZSi = sin ôfiôficp.
On a donc pour l'expression de l'aire
RR' sin %dod^. (10)
L'angle 6 est l'angle de la normale avec oz, ^ mesure l'angle dièdre du plan mené par cette normale parallèlement à oz avec le plan zox. Nous sommes ainsi dégagés de toute considération relative à la sphère.
^31. Nous appellerons courbure totale d'une portion finie (S) de surface l'aire de la portion de sphère (Sj) qui comprend les représentations sphériques de tous les points de (S) ; d'après la formule (9), cette courbure totale aura donc pour expression
Rïl"
APPLICATIONS GEOMETRIQUES 303
Supposons que le contour de l'aire (S) soit formé de lignes géodésiques et, pour fixer les idées, considérons un triangle géodésique ABC. Sur tout le contour, on aura (I. 525)
€t par suite
ou
doi -+- rdu H- r^dv = 0
(d(ji 4- rdic -+- '}\dv) = 0
ofoj = — I [rdic -H 'i\dv).
FiG. 30
Le second membre peut s'écrire, en appliquant la formule 35 bis du chapitre précédent,
''- ] dudv
ôy 'du
ou, en appliquant la formule (65) du n° 531, tome 1'
-fTTCT dudv.
Jrvli
Or l'élément [d^) surface est égal à \/Edu. \/G(iu.
30i CHAPITRE Vil
On a donc, pour la courbure totale,
Le second membre peut encore être modifié. En effet w désigne l'angle de la ligne géodésique avec la tangente à la courbe v = constante ; il varierait donc de 2Tt, si le contour n'avait pas de points saillants et l'on aurait
(ho = 2:
Mais, à chaque angle du triangle, il y a une variation brusque ; en réalité il faut décomposer l'intégrale en trois
dio -h / ofto -j- / doi
