AB «^BG «^CA

et à cette somme ajouter, pour avoir 2%, la variation brusque relative à chaque angle, c'est-à-dire

Il en résulte

Donc la courbure totale du triangle a pour valeur Vexcès de la somme des angles du triangle sur deux droits. Ce théorème est dû à Gauss.

Dans le cas particulier où la surface donnée est une sphère

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 30;j

de ra5^on a (R = R'=«), le triangle géodépiqae et la courhure totale qui en est la représentation sphérique deviennent des triangles sphériques et l'on retrouve la formule bien connue

Nous voyons que ce théorème s'étend sans modification aux surfaces à courhure constante positive à condition de prendre pour côtés du triangle des lignes géodésiques. Mais on voit de plus que sur les surfaces à courhure constante négative (R = R' = — a), la somme des angles du triangle est toujours inférieure à deux droits.

!!Î3S. Soit r le rayon vecteur mené d'un point quelconque 0 au point M de (S) ; (Ni-) l'angle de la normale en M avec ce rayon vecteur, d<: un élément d'aire au point M. Gauss a démontré le théorème suivant.

Vintegrale double

étendue à toute surface fermée, est nulle ou égale à 4tc suivant que 0 est extérieur ou intérieur à la surface fermée.

En effet, considérons le cône qui a pour sommet le point 0 et pour base un élément de surface infiniment petit décrit autour de M ; ce cône intercepte sur la sphère de rayon 1 qui a pour centre le point 0 un élément de surface c?Si tel que

,ç, f/j cos (Nr)

L'intégrale considérée (11) a donc pour valeur la surface de la sphère, c'est-à-dire 47t, si le point 0 est intérieur à la surface. S'il est extérieur, le cône découpera sur la surface deux éléments du du même côté du sommet 0 ; comme il faut considérer, soit partout la normale extérieure^ soit partout la normale intérieure, les deux valeurs de </Si qui en résulteront seront égales et de signes contraires, ce qui démontre le théorème dans le cas du point extérieur.

Calcul infinitésimal 20

Remarquons que, si la surface était rencontrée plusieurs fois par le cône, le théorème subsisterait ; car les parties qui pourraient être ajoutées dans l'intégrale (H) par cette complication de forme disparaîtraient dans la somme, commeétant deux à deux égales et de signes contraires.

HSS. Parmi les surfaces courbes, celles qui sont de révolution ont une importance spéciale. Leur quadrature peut être effectuée dans un grand nombre de cas. Nous en avons déjà donné un exemple, celui de la surface qui a pour méridienne la cycloïde ; mais nous nous étions appuyés sur la forme du ds~. Il convient de reprendre le problème sans invoquer cette considération.

Soit d'abord en coordonnées rectangulaires l'équation- de la méridienne

Supposons que l'axe de la surface de révolution soit l'axe oz^ Un élément (MN = ds) d'arc de la méridienne, correspond-

FiG. 31

dant au point M(^,^), engendrera un tronc de cône de révoutio n dont l'aire aura pour expression