k(ûc-\- ~y] ds

ou, en négligeant les infiniment petits du second ordre^,

2T:a;ds,

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 307

L'aire de la surface sera donc

S = 2^1 j ivds (12)

ou encore

S = 2::/ ^(^)s/i+(^jcl., (13)

2'34. Âire de la zone. Soit, par exemple, une sphère ; on aura

dx — z

"dz ~ ^/^TZ^

s z= 2r, I adz =^ 2iia{s^ — ^J. 335. Aire de l'ellipsoïde de révolution. Soit l'ellipsoïde

La méridienne a pour équation .

d'où

dx a z

dz c ^Qi ^2 ■■

S = 27: ^ / \fc' + [a^ — c^)zMz.

i° Ellipsoïde allongé (c^a). Le radical se ramène à la forme y/a- — z^ et l'on trouve pour l'intégrale indéfinie

arc sin

in ^ ^c^ - a^ -h r.az y/l €^-^

\Jc' — é formule qui se simplifie un peu si l'on introduit l'excentricité e :

„ Tiac • ze ^ ^^ i /j 6"^'

S = — arc sin h T^az V/ 1 5- •

L'aire totale de l'ellipsoïde allongé sera donc :

2rac ^^^ g.^ ^ ^ 27rac \/i — eK e

2° Ellipsoïde aplati {c < a). Le radical se ramène à la forme v/ôM^^ et l'on trouve

En faisant 2 = 0, puis 2 = c, on aura la moitié de l'aire totale. Cette aire totale a donc pour expression

S = , lo2- h 2ra%

ou en introduisant encore l'excentricité e^ = 1 — —2

S ~ i^a\\ — e'-) log J-~ + 27ra2.