CX) = 0 COS W

La formule (12) devient

S = 2t. I p COS co \/p'' H- p'hho. (14)

Si l'axe oz de la surface coïncide avec l'axe polaire, il faut, dans la formule (12), supposer a? = p sin œ, ce qui donne

S = 2- / p sin to y/p- H- p'-doi. (15)

Considérons, par exemple, l'équation

p = 2a COS - i^-

qui représente une cardioïde (lieu des projections d'un point d'une circonférence sur ses tangentes) :

p = — ia sin ^ COS j.

L'aire totale de la surface engendrée aura pour expression

C AC '> I , OJ . 0) 32 ,

O ==: Ibira- / COS •• Pi sin rr um r= -^^ 7:a-.

Ciibatiires

237'. Nous avons déjà expliqué, n°« 184 et 185, comment l'évaluation des volumes est, la plupart du temps, une application des intégrales doubles et nous avons donné deux exemples. Si le volume n'est pas limité partiellement par le plan xy et par un cylindre parallèle à oz, on a vu (n° 205) comment on peut le ramener à un pareil volume ; tout solide peut toujours être considéré comme somme ou différence d'un certain nombre de solides dont le volume s'exprime par l'intégrale

d^ étant un élément d'aire dans le plan des xij.

On pourra encore opérer de la manière suivante : On découpera le solide à cuber par des plans parallèles au plan des xy, équidistants et assez rapprochés les uns des autres pour pouvoir assimiler le volume compris entre deux plans consécutifs à un cylindre aux infiniment petits du second ordre près.

Soit dz la distance de deux plans consécutifs, ^ l'aire de la section plane faite à la distancer de xoy\ cette aire sera une fonction de z et l'on sera ramené à l'intégrale simple

^dz-^ (IG)

'Nous verrons dans le chapitre suivant comment il conviendrait d'opérer si les coordonnées étaient curvilignes dans l'espace.