Soit, par exemple, à cuber l'ellipsoïde
APPLICATIONS GEOMETRIQUES 31i
Nous calculerons le volume de la moitié située au-dessus de xoij ; à la hauteur z, la section a pour équation
ses axes sont
son aire
^ah( 1 ^
Le volume cherché a donc pour expression
•et l'ellipsoïde total a pour mesure j r.ahc. Dans le cas de la
sphère (a=: b = c), le volume est ^ r.a^.
L'exemple que nous venons de traiter a fourni, pour l'aire de la section t, une expression du second degré en z. C'est une |)articularité qui se rencontre dans toutes les surfaces réglées dont l'ellipsoïde peut être considéré comme un cas particulier .{à génératrices imaginaires). Voici la démonstration de ce théorème.
S39. Soient
i ^ CCZ^ I — Ci /J"7\
l y = bz-^f ^ ^
les équations d'une droite ; cette droite engendrera une surface si a, a, b, p sont fonctions d'un seul paramètre t. Les équations (17) représenteront aussi la courbe section de la
surface par le plan z = constante, si l'on suppose qu'on y donne à z cette valeur constante.
L'aire de cette courbe a pour expression
p) (a'z -V !x';,dl,
les lettres accentuées de'signant des dérivées. L'intégrale précédente s'écrit
a'bdt + - / («'P -+- ba')dt -h 1 ^'j-'àt.
ou
Ainsi, dans toute surface réglée, Faire d^une section plane est une fonction du second degré de la distajtce du plan de cette section à un plan fixe donné.
Parmi les volumes compris dans cet article, on peut faire entrer ceux qui sont renfermés entre deux plans parallèles réunis par des faces trapèzes ou des triangles,
240. Règle des trois niveaux. Soit une surface quelconque telle que sa section par un plan, parallèle à un plan fixe, ait une aire fonction du second degré de la distance au plan fixe. Nous allons évaluer le volume V compris entre deux plans parallèles au plan donné ; soient B, B' les aires des bases situées dans ces plans, B" l'aire d'une section équidistante des deux premières, h la hauteur du solide (distance des plans des bases). La règle des trois niveaux, due à Kepler, s'exprime par la formule
APPLICATIONS GEOiMETRlQUES 313
Par hypothèse, l'aire d'une section faite à la distance z est de la forme
as^ -^ b:^ ^ c et le volume V s'exprimera par rinlégrale
Y = j (o~^ -h 5^ + c)dz,
à condition de compter les z à partir d'une des bases, celle qui a pour aire B, par exemple. On a donc
,. al\^ bh- , , (ail- bli
ou
lalv' -h Zbh + 6c). (19)
h Or, en faisant 5- = 0, puis z =.-^ ^i z =^lx, on trouve pour
les aires
T,„ ali^ , bli
B' = ail'' -\- bh + c.
Le second membre de l'égalité (18) a donc pour valeur
I (2ffA2 + ?jhh + 6c),
ce qui est bien l'expression (19).
Cette règle donne la plupart des solides élémentaires. Ainsi, dans le prisme ou dans le cylindre, B = B' = B"; la formule devient donc V = B/i. Dans la pyramide ou dans le cône
6 = 0, B" = y-; donc V = 4f , etc. (Voir le Traité de géo-
mètr'ie de Rouché et Comberousse (n°^ 636 et 637). Mais on voit d'après les n°* précédents que la même règle donne les volumes de beaucoup d'autres solides, tels que ceux du second degré, et ceux limités latéralement par des surfaces réglées. Pour reprendre l'ellipsoïde cubé au n° 237, on pourra faire
B := 0, B' = 0, B" = izah, Ji = 2c,
ce qui donne bien pour le volume total
V = 5 Tia&c.
341. Considérons encore le volume compris entre le plan des naissances et les deux voûtes en arc de cloître semi circulaires d'un berceau coudé cylindrique. Dans le plan des naissances, le volume sera limité par un carré ABCD ; les deux cylindres égaux se coupent suivant deux ellipses projetés sur la figure suivant BI) et AC.
FiG. 32
Une section faite à la distance z du plan des naissances sera un carré MNPQ ayant pour aire MIN^ ; nous allons évaluer MN. Soit 0 le centre des deux ellipses.
